Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Imaginär-quadratischer Fall/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}D<0}$ quadratfrei und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Es gibt also ${\displaystyle {}s=1}$ Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {D}}}$ bei ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$ bzw. ${\displaystyle {}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ bei ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$ gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}}$

bzw.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters, ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}={\sqrt {\vert {D}\vert }}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\,.}$

Die Diskriminante ist nach Fakt gleich ${\displaystyle {}4D}$ bzw. ${\displaystyle {}D}$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von Fakt.