Zahlbereich/Grad/Rang der Einheitengruppe/Abschätzungen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}d}$ und sei ${\displaystyle {}R}$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass für Rang der Einheitengruppe ${\displaystyle {}R^{\times }}$ die Abschätzungen

${\displaystyle {}\operatorname {rang} \,R^{\times }\leq d-1\,}$

und

${\displaystyle {}\operatorname {rang} \,R^{\times }\geq {\begin{cases}{\frac {d}{2}}-1,{\text{ bei }}d{\text{ gerade}},\\{\frac {d-1}{2}},{\text{ bei }}d{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,}$

gelten.