Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige unter Verwendung der Divisorengruppe, dass es eine Produktdarstellung

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,}$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}R}$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${\displaystyle {}r_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,k}$, gibt.