Zahlbereich/Norm fixiert/Elemente/Assoziiert/Fakt/Beweis

Der Restklassenring ${\displaystyle {}R/(a)}$ ist endlich nach Fakt und Fakt. Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu ${\displaystyle {}R/(a)}$, die beide die Norm ${\displaystyle {}a}$ besitzen, zueinander assoziiert sind (für die ${\displaystyle {}f_{j}}$ wählen wir zu jeder Nebenklasse von ${\displaystyle {}R/(a)}$ einen Repräsentanten mit Norm ${\displaystyle {}a}$ aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt). Es seien dazu ${\displaystyle {}f,g,h\in R}$ mit

${\displaystyle {}f=g+ah\,}$

und mit ${\displaystyle {}N(f)=N(g)=a}$. Dann ist in ${\displaystyle {}Q(R)}$

${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}={\frac {g+ah}{g}}=1+a{\frac {h}{g}}=1+{\frac {N(g)}{g}}h\,}$

und dies gehört zu ${\displaystyle {}R}$, da ${\displaystyle {}{\frac {N(g)}{g}}}$ nach Fakt zu ${\displaystyle {}R}$ gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ vertauscht. Also teilen sich ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ gegenseitig und sind daher assoziiert.