Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist ${\displaystyle {}R}$ ein freier ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Modul, dessen Rang der Grad ${\displaystyle {}n}$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach Fakt ist der Faserring über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ eine ${\displaystyle {}n}$-dimensionale ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basis ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ von ${\displaystyle {}R}$ fixiert. Eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basis von ${\displaystyle {}R}$ wird modulo ${\displaystyle {}p}$ zu einer ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Basis von ${\displaystyle {}R/(p)}$, siehe den Beweis zu Fakt. In der Multiplikationsmatrix zu ${\displaystyle {}f}$ bezüglich ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ stehen die ganzen Zahlen ${\displaystyle {}c_{ij}}$, die durch

${\displaystyle {}fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,}$

gegeben sind. Da ${\displaystyle {}R\rightarrow R/(p)}$ ein Ringhomomorphismus ist, folgt

${\displaystyle {}{\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,}$

und daher ist die Multiplikationsmatrix zu ${\displaystyle {}{\overline {f}}}$ bezüglich ${\displaystyle {}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}}$ einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,}$

gleich ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}{\overline {c}}_{ii}}$, also gleich der Spur der Reduktion.