Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Faserringe/Beschreibung/Beispiel

Es seien ${\displaystyle {}p,q}$ verschiedene Primzahlen und ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-q)}$. Für eine Primzahl ${\displaystyle {}r\neq p,q}$ ist der Faserring über ${\displaystyle {}(r)}$ gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(r)[X]/(X^{p}-q)}$. Da ${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}q}$ Einheiten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(r)}$ sind, gilt

${\displaystyle {}(X^{p}-q,pX^{p-1})=(X^{p}-q,X^{p-1})=(q,X^{p-1})=(q)=1\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(r)[X]}$, d.h. ${\displaystyle {}X^{p}-q}$ und die Ableitung ${\displaystyle {}pX^{p-1}}$ sind teilerfremd in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(r)[X]}$ und daher ist nach Fakt ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{r}[X]/(X^{p}-q)}$ normal und die Verzweigungsordnung von

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(r)}\longrightarrow R_{\mathfrak {r}},}$

wobei ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$ ein Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(r)}$ bezeichnet, ist gleich ${\displaystyle {}1}$.

Für ${\displaystyle {}r=q}$ ist das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(q)}$ das Hauptideal ${\displaystyle {}(X)}$, die Verzweigungsordnung in ${\displaystyle {}q}$ ist gleich ${\displaystyle {}p}$.

Für ${\displaystyle {}r=p}$ ist der Faserring gleich

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{p}-q)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X-q)^{p}\,.}$

Das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ ist also ${\displaystyle {}(X-q,p)}$, was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring ${\displaystyle {}R}$ ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ liegt.