Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Verfahren/13/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}p=13}$ (man sieht natürlich sofort eine Darstellung). Mit dem in Bemerkung beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen:

In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist ${\displaystyle {}5^{2}=25=-1}$, also kann man ${\displaystyle {}a=5}$ nehmen. Dies führt zum Ideal ${\displaystyle {}(13,5-{\mathrm {i} })}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$. Division in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ liefert

${\displaystyle {}{\frac {13}{5-{\mathrm {i} }}}={\frac {13(5+{\mathrm {i} })}{(5-{\mathrm {i} })(5+{\mathrm {i} })}}={\frac {65+13{\mathrm {i} }}{26}}\,}$

und ${\displaystyle {}2}$ ist eine beste Approximation in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$. Damit ist die Division mit Rest

${\displaystyle {}13=2\cdot (5-{\mathrm {i} })+r\,}$

mit ${\displaystyle {}r=3+2{\mathrm {i} }}$. Die nächste durchzuführende Division liefert

${\displaystyle {}{\frac {5-{\mathrm {i} }}{3+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(5-{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })}{13}}={\frac {13-13{\mathrm {i} }}{13}}=1-{\mathrm {i} }\,.}$

Damit ist also ${\displaystyle {}5-{\mathrm {i} }=(1-{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })}$ und somit ist ${\displaystyle {}3+2{\mathrm {i} }}$ ein Erzeuger des Ideals.