Zahlkörper/Betrag/Polynom/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können einen Betrag auf einen Erweiterungskörper fortsetzen, deshalb können wir davon ausgehen, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Wir betrachten die Situation eines nichtarchimedischen Betrages. Dieser rührt von einem Primideal im zugehörigen Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ her, und zwar ist

${\displaystyle {}\vert {f}\vert =a^{-\operatorname {ord} \,(f)}\,}$

mit einer reellen Basis ${\displaystyle {}a>1}$. Wir arbeiten im zugehörigen diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}B=R_{\mathfrak {p}}}$. Wir schreiben das Polynom als

${\displaystyle {}F=v\pi ^{\ell }(X-b_{1}\pi ^{n_{1}})\cdots (X-b_{d}\pi ^{n_{d}})\,}$

mit Einheiten ${\displaystyle {}v,b_{j}}$ aus ${\displaystyle {}B}$, wobei ${\displaystyle {}\pi }$ eine Ortsuniformisierende von ${\displaystyle {}B}$ bezeichnet, ${\displaystyle {}\ell ,n_{j}\in \mathbb {Z} }$. Es sei ${\displaystyle {}m_{0}}$ negativ und echt kleiner als alle ${\displaystyle {}n_{j}}$ und so, dass auch ${\displaystyle {}\ell +dm_{0}}$ negativ ist. Wir setzen

${\displaystyle {}c:=\operatorname {min} \left(a^{dm_{0}},\,a^{-\ell }\right)\,}$

Es sei

${\displaystyle {}x=u\pi ^{m}\,,}$

somit ist also ${\displaystyle {}\vert {x}\vert =a^{-m}}$. Bei ${\displaystyle {}m\geq m_{0}}$ ist

${\displaystyle {}1=a^{dm_{0}}a^{-dm_{0}}\geq ca^{-dm}=c(a^{-m})^{d}\geq c\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ^{d},\,1\right)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}m\leq m_{0}}$ ist die Ordnung von jedem Faktor (nach der Einsetzung) gleich ${\displaystyle {}m}$ und die Gesamtordnung von ${\displaystyle {}F(x)}$ ist ${\displaystyle {}\ell +dm}$. Der Betrag davon ist

${\displaystyle {}\vert {F(x)}\vert =a^{-\ell -dm}=a^{-\ell }(a^{-m})^{d}=a^{-\ell }\cdot \vert {x}\vert ^{d}\geq c\cdot \vert {x}\vert ^{d}\,.}$