Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}y'=h(y)\,}$

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

und es sei

${\displaystyle y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall ${\displaystyle {}I}$.

a) Drücke die zweite Ableitung von ${\displaystyle {}y}$ mit ${\displaystyle {}h,h'}$ und ${\displaystyle {}y}$ aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von ${\displaystyle {}y}$ mit ${\displaystyle {}h,h',h^{\prime \prime }}$ und ${\displaystyle {}y}$ aus.

c) Zeige, dass die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung von ${\displaystyle {}y}$ die Form

${\displaystyle {\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y}$

mit gewissen Zahlen ${\displaystyle {}a_{\nu }\in \mathbb {N} }$ für jedes ${\displaystyle {}n}$-Tupel ${\displaystyle {}\nu =(\nu _{0},\ldots ,\nu _{n-1})\in \mathbb {N} ^{n}}$ mit ${\displaystyle {}\nu _{j}\leq n-1}$ besitzt.