Zentralfeld/Anfangswertproblem/Skalare Funktion e^tx/(-1,4)/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung

${\displaystyle {}z'=-e^{t}z^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}z(0)=1}$ führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist

${\displaystyle {}-{\frac {z'}{z^{2}}}=e^{t}\,}$

und somit

${\displaystyle {}z^{-1}=e^{t}+c\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}z={\frac {1}{e^{t}+c}}\,}$

und wegen der Anfangsbedingung muss ${\displaystyle {}c=0}$ sein, also ist

${\displaystyle {}z=e^{-t}\,.}$

Die Lösung für das Zentralfeld ist somit

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}=e^{-t}{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\,.}$