Zerfällungskörper/Ist endlich/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq M}$ eine Körpererweiterung, über der ${\displaystyle {}F}$ in Linearformen zerfällt und ${\displaystyle {}L=K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq M}$, wobei ${\displaystyle {}a_{i}\in M}$ die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ seien. Es liegt eine Kette von ${\displaystyle {}K}$-Algebren

${\displaystyle {}K\subseteq K[a_{1}]\subseteq K[a_{1},a_{2}]\subseteq \cdots \subseteq K[a_{1},\ldots ,a_{n}]=L\subseteq M\,}$

vor. Dabei ist sukzessive ${\displaystyle {}a_{i}}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K[a_{1},\ldots ,a_{i-1}]}$, da ja ${\displaystyle {}a_{i}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ist. Daher sind die Inklusionen nach Fakt endliche Körpererweiterungen und nach Fakt ist dann die Gesamtkörpererweiterung ebenfalls endlich.