Zerfällungskörper/Rationales Polynom/Komplexe Konjugation/Aufgabe/Lösung

Es seien ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}$ die komplexen Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$, die den Zerfällungskörper ${\displaystyle {}L}$ erzeugen. Ein beliebiges Element ${\displaystyle {}z\in L}$ ist ein polynomialer Ausdruck ${\displaystyle {}P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ in den ${\displaystyle {}x_{i}}$ mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Für die komplexe Konjugation gilt dabei

${\displaystyle {}{\overline {z}}={\overline {P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=P({\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}})\,,}$

da rationalen Zahlen auf sich abgebildet werden. Wegen

${\displaystyle {}F({\overline {x_{i}}})={\overline {F(x_{i})}}=0\,}$

${\displaystyle {}x_{i}}$

${\displaystyle {}{\overline {x_{i}}}}$

${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {}{\overline {x_{i}}}\in L}$

${\displaystyle {}P({\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}})\in L}$

${\displaystyle {}z}$

${\displaystyle {}L}$