Zwischenwertsatz/Nicht für Q/Aufgabe/Lösung

Die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,}$

ist stetig und es ist ${\displaystyle {}f(0)=-2<0}$ und ${\displaystyle {}f(2)=2>0}$. Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall ${\displaystyle {}[0,2]}$ eine Nullstelle geben, also ein ${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle {}q^{2}=2}$.

${\displaystyle {}2}$