Zylinder/Geodätische/Beispiel

Wir betrachten den Zylindermantel

${\displaystyle {}Z={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.}$

Geometrisch ergeben sich die folgenden Bewegungen auf dem Zylinder, bei denen die Beschleunigung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Der Tangentialraum im Punkt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$ ist durch ${\displaystyle {}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ gegeben, dazu senkrecht ist ${\displaystyle {}-{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}}$. Bei den folgenden Bewegungen kann man die Skalierung affin-linear abändern.

1. Bewegung auf einer Geraden auf dem Zylindermantel parallel zur inneren Achse:

   ${\displaystyle {}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\t\end{pmatrix}}\,}$

   mit ${\displaystyle {}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1}$. Die erste Ableitung ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$, die zweite Ableitung ist ${\displaystyle {}0}$.

2. Eine Kreisbewegung, gegeben durch

   ${\displaystyle {}\delta (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\c\end{pmatrix}}\,.}$

   Die erste Ableitung ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}}$, die zweite Ableitung ist ${\displaystyle {}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}}$.

3. 

   Eine Schraubenlinie (Helix) gegeben durch

   ${\displaystyle {}\epsilon (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\et\end{pmatrix}}\,}$

   mit ${\displaystyle {}e\neq 0}$. Die erste Ableitung ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\e\end{pmatrix}}}$, die zweite Ableitung ist ${\displaystyle {}-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}}$.