Zylinder/Geodätische Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle \varphi \colon ]-\pi ,\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\setminus \{(-1,0)\}\times \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,v\right).}$

Dabei ist ${\displaystyle {}\varphi (0,3)=(1,0,3)}$. Die Christoffelsymbole sind trivial, daher ist die geodätische Differentialgleichung gleich

${\displaystyle {}\gamma ^{\prime \prime }=0\,.}$

Die angegebenen Bedingungen bedeuten auf der Karte

${\displaystyle {}\gamma (0)=(0,3)\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma '(0)=(1,-4)\,.}$

${\displaystyle {}\gamma (t)=(0,3)+t(1,-4)=(t,3-4t)\,.}$

${\displaystyle {}\psi (t)=\varphi (\gamma (t))=\left(\cos t,\,\sin t,\,3-4t\right)\,.}$