Diverses:Grenzwertbetrachtung am Pudding

Sei die Höhe des Puddings [math]h \gt 0[/math] beliebig, aber fest. Dann existiert (mindestens) ein [math]U \gt 0[/math] , für das gilt: Wenn der Umfang des Puddings den Wert [math]U[/math] hat, dann verbraucht der Mathematiker [math]M[/math] beim Umrunden des Puddings [math]P[/math] mehr Kalorien, als er anschließend beim Verzehr von [math]P[/math] wieder aufnimmt.

Da der Begriff des Puddings in der Literatur nicht ganz einheitlich verwendet wird, definieren wir wie folgt: Sei [math]\mathbb K[/math] ein angeordneter Körper. Dann ist [math]\mathbb K^3[/math] die dreidimensionale Küche über [math]\mathbb K[/math] und eine Menge [math]O \subset \mathbb K^3[/math] ist genau dann ein Pudding, wenn sie beschränkt und zusammenhängend ist (ein Pudding!) und für jeden Punkt [math]p \in O[/math] ein [math]\varepsilon \gt 0 [/math] existiert, so dass die Umgebung

[math]U_\varepsilon (p) := \{ y \in \mathbb K^3 : |(p-y)| \lt \varepsilon \}[/math]

ein Stück Pudding ist.

Für die Menge aller Puddinge in [math]\mathbb K^3[/math] schreiben wir [math]\mathbb P \subset \mathcal P(\mathbb K^3)[/math] , wobei [math]\mathcal P(\mathbb K^3)[/math] die Potenzmenge von [math]\mathbb K^3[/math] ist.

In der Küche ist das Volumen jedes Puddings über das Guebesgue-Maß [math]\gamma \colon \mathbb P \to \mathbb K[/math] definiert. Der Umfang eines Puddings [math]P[/math] ist definiert als Umfang der Fläche [math]A[/math] , welche sich durch orthogonale Projektion von [math]P[/math] in die xy-Ebene ergibt. Aus Kulanz erlauben wir [math]M[/math] für den Fall, dass [math]A[/math] nicht konvex ist, stattdessen auf dem Rand der konvexen Hülle [math]B := \mathrm{conv}\, A[/math] zu laufen. Falls [math]A[/math] kreisförmig ist, handelt es sich somit übrigens um ein Kreislaufproblem.

O. B. d. A. sei [math]M[/math] ein sympathischer Typ. Diese Zusatzannahme ist für den Beweis nicht unbedingt notwendig, erleichtert ihn aber trotzdem ungemein durch die erzielte positive Grundstimmung. Da es sich hier um Satire handelt, könnte [math]M[/math] aber auch als Politiker gewählt werden.

Sei [math]E_U[/math] die Energie, die [math]M[/math] beim Lauf um den Pudding verbrenne, und [math]B_P[/math] der Brennwert von [math]P[/math] . Es gilt [math]E_U = U \cdot \phi[/math] und [math]B_P = V \cdot \psi[/math] mit Volumen [math]V[/math] und Proportionalitätsfaktoren [math]\phi[/math] und [math]\psi[/math] , deren konkrete Werte hier selbstverständlich ebenso unerheblich sind wie ihre anschauliche Bedeutung.

Da [math]\mathbb K^3[/math] eine Küche ist, existieren hier Puddingformen [math]F \colon \mathbb K^2 \times \mathbb K^3 \to \mathbb P[/math] , die jedem Tupel [math](U,h,x)[/math] einen Pudding mit Umfang [math]U[/math] , Höhe [math]h[/math] und Mittelpunkt [math]x \in \mathbb K^3[/math] zuordnen. Umgekehrt lässt sich jeder Pudding [math]Q[/math] als Funktionswert genau einer Puddingform [math]F_Q[/math] darstellen.

Da das Guebesgue-Maß translationsinvariant ist und somit die Lage des Puddings in der Küche keine Rolle spielt, genügt es, den Satz für ein beliebiges [math]x \in \mathbb K^3[/math] zu beweisen. Durch Currying der Puddingform erhalten wir die fixierte Puddingform [math]F' \colon \mathbb K^2 \to \mathbb P[/math] .

[math]\Rightarrow \gamma \circ F' \colon \mathbb K^2 \to \mathbb K[/math] ordnet jedem Tupel [math](U,h)[/math] das Volumen der von [math]F'[/math] mit [math]U[/math] und [math]h[/math] aufgespannten Puddinge zu.

Somit können wir folgende Funktion definieren:

[math]\Theta \colon \mathbb K^2 \to \mathbb K[/math]

[math]\Theta (U,h) := \frac{E_U}{B_P} = \frac{U \cdot \phi}{V \cdot \psi}[/math] mit [math]V := \gamma (F'_P(U,h))[/math]

Es genügt zu zeigen: Für jedes [math]h \gt 0[/math] existiert ein [math]U \gt 0[/math] , so dass [math]\Theta_h(U) \gt 1[/math] .

Um [math]V[/math] nach unten und damit [math]\Theta_h(U)[/math] nach oben abzuschätzen, konstruieren wir durch Parallelverschiebung der Fläche [math]B[/math] entlang der z-Achse einen Zylinder [math]Z \supseteq P[/math] mit Höhe [math]h[/math] , dessen Volumen [math]V_Z[/math] wir mit der isoperimetrischen Ungleichung wiederum nach unten abschätzen können:

[math]V \le V_Z \le \frac{U^2 \cdot h}{4 \cdot \pi}[/math]

[math]\Rightarrow \Theta_h(U) \ge \frac{4 \cdot \pi \cdot \phi}{U \cdot h \cdot \psi}[/math]

[math]\Rightarrow \Theta_h \left(\frac{\pi \phi}{h \psi} \right) \ge 4 \gt 1[/math] , q. e. d.

Oben stehender Beweis ist sehr interessant. Es handelt sich um eine elegante Weiterentwicklung eines Beweises, den schon Archimedes gekannt haben muss. Auf nicht mehr ganz zeitgemäße Argumente wie „der schmeckt ja auch gut“ wurde zugunsten eines analytischen Ansatzes verzichtet, der sich als sehr fruchtbar für Verallgemeinerungen des Satzes erweist.

So dürfte jedermann leicht einsehen, dass die oben definierte Funktion [math]\Theta[/math] nicht nur größer als 1 wird, sondern beliebig groß mit [math]\lim_{U \to 0} \Theta_h(U) = \infty[/math] sowie natürlich [math]\lim_{h \to 0} \Theta_U(h) = \infty[/math] .

Der Nachweis ist trivial und bleibt dem Pudding als Nachtisch überlassen.