Elektronentornado

Die Singularität der Emulsion der funktionellen Neutronenaufbau-Theorie führt zu der Intensität der Exponenten der Schwärzung auf der 35. Ebene. Wiederum kann der stellare Multikrative munutelar Quotient parallel zu der 23. Ebene stehen. Die Singularität kann hierbei die Entropie der formalen Histrebie der honularen Massen vervielfacht zerstören lassen.

Die Lösung ist auf eine Formel hinterlegt die mathematisch leise denkt. Wenn man die sanetralen Volumen bedenkt, so kann man

[math]\Delta t=\frac{M^3}{3\Lambda_t}[/math]

durch den Nenner der Singuente teilen und somit erhält man

[math]S_\mathrm{SL}=\frac{ A k c^3}{ 4 \hbar G}[/math]

jedoch führt dies zu einer gravitonsführenden Formel, nämlich

[math]T=\frac{ \hbar c^3}{8\pi kGM}[/math]

Wenn man die gravitonsführende Formel auf eine Struktur legt, die mathematisch instabil auf die Mutter aller Kräfte wirkt, so kann man diese mit folgender Theorie beweisen:

[math] ds^2=g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \frac{1}{1-\frac{r^2}{\mathcal{R}^2}}dr^2+r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 - \frac{1}{4} \left(3 \sqrt{1-\frac {r^2_g}{\mathcal{R}^2}}-\sqrt{1-\frac {r^2}{\mathcal{R}^2}} \right)^2 dt^2[/math]

Nun erhält man den Kosinus der auch delingual auf den Sakimus wirken kann. Der Sakimus spielt hierbei eine entscheidende Rolle. Er verhält sich plastisch auf die Quantengleichung der Matrix auf 1² der Sekundalen Fiktal-Funktion. Die Hinzunahme des dritten Terms in der Metrik bringt eine Wiederholung dieser Überlegung für eine weitere Teilfläche. Der Zeitteil der Metrik ist nur dann verständlich, wenn man den darin enthaltenen Faktor drei auf eine Grundeigenschaft der Parabel als bestimmende Kurve der äußeren Lösung zurückführt. Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt P im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Einheitsvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix J=Sh anstelle der Rotationsmatrix.

Die Transformation lautet also:

[math]\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial\theta},\frac{\partial}{\partial\varphi} \right) = \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot J[/math],

Im Gegensatz sieht es wie folgt aus:

[math]\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right) = \left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial\theta},\frac{\partial}{\partial\varphi} \right) \cdot J^{-1}[/math]. Transformation des Nabla-Operators

Der Nabla-Operator hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

[math]\mathbf{\nabla} = \mathbf{e}_x\frac{\partial}{\partial x} +\mathbf{e}_y\frac{\partial}{\partial y} +\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial z}[/math].

Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet: [math] \mathbf{\nabla} =\mathbf{e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \mathbf{e}_\varphi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}[/math].

In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass \nabla nicht nur auf die Koeffizienten Ar, … wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren er

[math]\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta A_\theta) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}A_\varphi[/math].

Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist selbiges zu berücksichtigen:

[math]\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}= {1 \over r\sin\theta}({\partial \over \partial \theta} ( A_\phi\sin\theta ) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}) \mathbf{e}_r + {1 \over r}({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} ( r A_\phi ) ) \mathbf{e}_\theta + {1 \over r}({\partial \over \partial r} ( r A_\theta ) - {\partial A_r \over \partial \theta}) \mathbf{e}_\phi[/math]

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator \nabla einsetzt, findet man den Laplace-Operator

[math]\mathbf{\Delta}=\mathbf{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}[/math] .

bzw.

[math]\mathbf{\Delta} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}[/math].

Eine besonders einfache Form um diese Form des Laplace-Operators herzuleiten ergibt sich mit Hilfe der Formel für den Laplace-Beltrami-Operator. Dabei gilt: [math] \operatorname{div}\, X=\sum_i \frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial _i \sqrt{|g|}X^i= \sum_{ij}\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial _i \sqrt{|g|} g^{ij} X_i (\operatorname{grad}\, f)^i=\partial^i f=\sum_j g^{ij}\partial_j f[/math].

Dabei gilt [math]\, g_{ij} g^{jk}=\delta_i^k, also \, g^{ij}=(g_{ij})^{-1}[/math].

Der Laplace-Beltrami-Operator ist dann genauso definiert wie der gewöhnliche Laplace-Operator, gilt aber für allgemeinere riemannsche Mannigfaltigkeiten: [math] \Delta\, f= \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\, f= \sum_i\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial _i \sqrt{|g|}\partial^i f= \sum_{ij} \frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_i \sqrt{|g|} g^{ij} \partial_j f[/math].

Der metrische Tensor in Kugelkoordinaten ist diagonal und von der Form

[math](g_{ij})= \operatorname{diag}(1,r^2,(r \sin\theta)^2)[/math].

Somit entfällt die Summe über i und die gij sind die Kehrwerte der Komponenten des metrischen Tensors, also die Wurzel des Betrags der Determinante ist [math]\sqrt{|g|}=r^2 \sin\theta[/math], also gleich der Jacobi-Determinante.

Setzt man die verschiedenen Größen in die Formel des Laplace-Beltrami-Operators ein, dann ergibt sich [math] (\Delta f)_{(1)} = \frac{1}{r^2 \sin\theta}\,\partial_r \left(r^2\sin\theta\,\partial _r f\right)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r} f (\Delta f)_{(2)} = \frac{1}{r^2 \sin\theta}\,\partial_\theta\, \left(r^2\sin\theta\,\partial _\theta (r^{-2}f)\right) = \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta}f (\Delta f)_{(3)} = \frac{1}{r^2 \sin\theta}\,\partial_\varphi\, \left(r^2\sin\theta\,\partial _\varphi \left((r^2\sin^2\theta)^{-1} f\right)\right)= \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}f[/math] .

Addiert man zu Δf = (Δf)(1) + (Δf)(2) + (Δf)(3), so ergibt sich die obige Formel