Analysis: Folgen und Reihen: Folgen

Ordnet man den natürlichen Zahlen (${\displaystyle \mathbb {N} =\lbrace 1,2,3,\ldots \rbrace }$) durch irgendeine Vorschrift je eine reelle Zahl zu, so entsteht eine Zahlenfolge ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$. Die Zuweisung ${\displaystyle n\mapsto a_{n}}$ definiert eine Funktion:

1	2	3	4	5	... (natürliche Zahlen)
${\displaystyle \downarrow }$	${\displaystyle \downarrow }$	${\displaystyle \downarrow }$	${\displaystyle \downarrow }$	${\displaystyle \downarrow }$
${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle a_{4}}$	${\displaystyle a_{5}}$	... (reelle Zahlen)

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ eine unendliche Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die Abbildung: ${\displaystyle a:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {X}}}$ eine Folge.

• Die Elemente ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ heißen Folgenglieder oder Glieder.
• Das Element ${\displaystyle a_{0}}$ (oder manchmal auch ${\displaystyle a_{1}}$) heißt Anfangsglied einer Folge.

• Meistens werden Folgen in der Form ${\displaystyle (\mathbf {a} )_{\mathbf {n} }}$ oder ${\displaystyle (\mathbf {a} _{\mathbf {n} })_{\mathbf {n} }}$geschrieben
• Manchmal werden auch nur die ersten Folgenglieder angegeben

• Mit ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ oder ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots }$ wird die Abbildung ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ,n\mapsto {\frac {1}{n}}}$ bezeichnet.
• Durch ${\displaystyle a_{0}:=1}$, ${\displaystyle a_{1}:=1}$ und ${\displaystyle a_{n+2}:=a_{n+1}+a_{n}}$ wird die Folge ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,\ldots }$ der Fibonacci-Zahlen definiert. (Rekursive Definition)