Analysis: Hauptsatz

Die Hauptsätze (oder: Fundamentalsätze) der Differential- und Integralrechnung beschreiben den Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration.

• Sei ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ eine auf ${\displaystyle \ [a,b]}$ Riemann-integrierbare Funktion und ${\displaystyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle \ f}$. Dann gilt

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t){\rm {d}}t=F(b)-F(a)\ .}$

Kennt man also eine Stammfunktion des Integranden, so kann man das Integral mit deren Hilfe einfach berechnen. Dieser Hauptsatz ist die Quelle der Integrationsregeln, da man Differentiationsregeln (Produktregel, Kettenregel) nun in Integrationsregeln (partielle Integration, Substitutionsregel) überführen kann.

• Sei ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion

${\displaystyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \ ,\ x\mapsto \int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t}$

eine Stammfunktion von ${\displaystyle \ f}$, d. h., ${\displaystyle \ F}$ ist stetig differenzierbar mit ${\displaystyle \ F'(x)=f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Seien ${\displaystyle f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ zwei stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt nach der Produktregel

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'g+fg'\ .}$

Da ${\displaystyle f\cdot g}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle \ f'g+fg'}$ ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

${\displaystyle \int _{a}^{b}[f'(t)g(t)+f(t)g'(t)]{\rm {d}}t=f(b)g(b)-f(a)g(a)\ .}$

Nun sind ${\displaystyle \ f'g}$ und ${\displaystyle \ fg'}$ beides stetige, also Riemann-integrierbare Funktionen. Daher darf die Linearität des Riemann-Integrals angewandt werden, und man erhält daraus die Regel der partiellen Integration:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)g(t){\rm {d}}t=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f(t)g'(t){\rm {d}}t\ .}$

Sei ${\displaystyle \varphi :[a,b]\rightarrow [c,d]}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${\displaystyle f:[c,d]\rightarrow \mathbb {R} }$ stetig. Es sei weiter ${\displaystyle F:[c,d]\rightarrow \mathbb {R} }$ eine (nach dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung existierende) Stammfunktion. Dann gilt nach der Kettenregel

${\displaystyle (F\circ \varphi )'=(f\circ \varphi )\cdot \varphi '\ .}$

Da ${\displaystyle \ F\circ \varphi }$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle \ (f\circ \varphi )\cdot \varphi '}$ ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t){\rm {d}}t=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\ .}$

Da ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$ ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

${\displaystyle F(\varphi (b))-F(\varphi (a))=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t){\rm {d}}t\ .}$

Somit gilt die Substitutionsregel

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t){\rm {d}}t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t){\rm {d}}t\ .}$