Analysis: Metrik und Topologie: Metrische Räume

Definition: Sei ${\displaystyle X}$ eine beliebige Menge und ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} _{+}\cup \left\{0\right\}}$ eine Abbildung. ${\displaystyle \left(X,d\right)}$ heißt metrischer Raum, wenn gilt:

Positivität:	${\displaystyle \forall x,y\in X}$	${\displaystyle d\left(x,y\right)=0\leftrightarrow x=y}$
Symmetrie:	${\displaystyle \forall x,y\in X}$	${\displaystyle d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)}$
Dreiecksungleichung:	${\displaystyle \forall x,y,z\in X}$	${\displaystyle d\left(x,z\right)\leq d\left(x,y\right)+d(y,z)}$

${\displaystyle d\left(x,y\right)}$ heißt dann Abstand von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle \mathrm {B} _{r}\left(x\right):=\left\{p\in X:d\left(p,x\right)<r\right\}}$ heißt offener Ball um ${\displaystyle x}$ mit Radius ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$.

Jeder metrische Raum ${\displaystyle \left(X,d\right)}$ lässt sich vermöge der induzierten Topologie ${\displaystyle \left\{A\subseteq X:\forall x\in A~\exists r\in \mathbb {R} _{+}~\mathrm {B} _{r}\left(x\right)\subseteq A\right\}}$ auch als topologischer Raum auffassen. Dann sind die offenen Mengen genau diejenigen, die nur Punkte enthalten, um die offene Bälle mit positivem Radius existieren, die vollständig in der fraglichen Menge liegen.

Umgekehrt lässt sich aber nicht zu jedem topologischen Raum ein passender metrischer Raum finden: Es gibt nicht metrisierbare topologische Räume, denn jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum; zu je zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle x,y}$ bilden die offenen Bälle um ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ mit Radius ${\displaystyle {\frac {d\left(x,y\right)}{2}}}$ zwei disjunkte Umgebungen.

Offene Bälle ${\displaystyle \mathrm {B} _{r}\left(x\right)}$ in metrischen Räumen sind tatsächlich auch im topologischen Sinne offene Mengen, denn da jeder ihrer Punkte ${\displaystyle p}$ zum Mittelpunkt einen Abstand ${\displaystyle d\left(p,x\right)<r}$ hat und somit der Ball ${\displaystyle \mathrm {B} _{r-d\left(p,x\right)}\left(p\right)}$ jeweils ganz in ${\displaystyle \mathrm {B} _{r}\left(x\right)}$ liegt, sind sie Elemente der induzierten Topologie.

• Die Abbildung, die zwei verschiedenen Punkten immer ${\displaystyle 1}$ und zwei identischen Punkten immer ${\displaystyle 0}$ zuordnet, ist eine Metrik. Sie heißt diskrete Metrik und induziert die diskrete Topologie.
• ${\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}\cup \left\{0\right\},((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))\mapsto {\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}}}}$ ist die euklidische Metrik. Wenn wir etwa die reellen Zahlen als metrischen Raum auffassen, verwenden wir üblicherweise implizit diese Metrik.