Beweisarchiv: Topologie: Limes von kompakten Hausdorffräumen

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass der Limes eines Diagramms von kompakten Hausdorffräumen wieder kompakt und Hausdorffsch ist.

Sei ${\displaystyle (X_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}}$ ein Diagramm von kompakten Hausdorff-Räumen in der Kategorie topologischer Räume ${\displaystyle \mathrm {Top} }$. Dann ist der Limes ${\displaystyle X:=\lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}$ mit der Limestopologie ein kompakter Hausdorffraum. Insbesondere ist die Kategorie kompakter Hausdorff-Räume ${\displaystyle \mathrm {CHaus} }$ vollständig und der Inklusionsfunktor ${\displaystyle \mathrm {CHaus} \to \mathrm {Top} }$ erhält Limites.

Der Limes von Hausdorff-Räumen ${\displaystyle \lim \nolimits _{i}X_{i}}$ ist Hausdorffsch. Nach dem Satz von Tychonoff ist das Produkt ${\displaystyle \prod \nolimits _{i}X_{i}}$ kompakt. Der Limes ${\displaystyle \lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}$ trägt per Definition die Teilraumtopologie von ${\displaystyle \prod \nolimits _{i}X_{i}}$ und ist wie folgt definiert:

${\displaystyle \lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\mid \forall i,j\in {\mathcal {I}}:\forall f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j):X(f)(a_{i})=a_{j}\right\}\subset \prod \nolimits _{i}X_{i}}$

Wir werden den Limes als Durchschnitt abgeschlossener Mengen schreiben. Sei dazu für alle ${\displaystyle i,j\in {\mathcal {I}}}$ und alle ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)}$

${\displaystyle A_{i,j,f}:=\{(a_{i},a_{j})\in X_{i}\times X_{j}\mid X(f)(a_{i})=a_{j}\}}$.

Die Mengen ${\displaystyle A_{i,j,f}}$ sind abgeschlossene Teilmengen von ${\displaystyle X_{i}\times X_{j}}$, da sie als Urbild

${\displaystyle A_{i,j,f}=(X(f)\times \mathrm {id} _{X_{j}})^{-1}(\Delta _{X_{j}})}$

von der Diagonale ${\displaystyle \Delta _{X_{j}}=\{(a,a)\mid a\in X_{j}\}}$ von ${\displaystyle X_{j}}$ geschrieben werden können. Die Diagonale ist abgeschlossen, da ${\displaystyle X_{j}}$ Hausdorffsch ist.

Nun gilt

${\displaystyle \lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}=\bigcap _{i,j\in \in {\mathcal {I}} \atop f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)}(\mathrm {pr} _{i}\times \mathrm {pr} _{j})^{-1}(A_{i,j,f}).}$

Also ist ${\displaystyle \lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}$ ein abgeschlossener Teilraum von ${\displaystyle \prod \nolimits _{i}X_{i}}$. Ein abgeschlossener Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt (siehe Lemma 1).

${\displaystyle \Box }$