Beweisarchiv: Topologie: Top hat Limites

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass die Kategorie topologischer Räume ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ mit stetigen Abbildungen (kleine) Limites besitzt und wie diese konstruiert werden.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ eine kleine Kategorie und

${\displaystyle X:{\mathcal {I}}\to \mathrm {Top} ,\quad i\mapsto X_{i}}$

ein Diagramm topologischer Räume über ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, so existiert der Limes des Diagramms in der Kategorie topologischer Räume.

Wir konstruieren den Limes direkt. Sei

${\displaystyle L:=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\mid \forall i,j\in {\mathcal {I}}:\forall f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j):X(f)(a_{i})=a_{j}\right\}\subset \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}$

mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf ${\displaystyle \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}$ ausgestattet. Wir definieren die Projektionen durch

${\displaystyle \pi _{j}:L\to X_{j},\quad (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{j}}$

Die Projektionen sind stetig: Ist ${\displaystyle U\subset X_{j}}$ eine offene Teilmenge, so ist ${\displaystyle \mathrm {pr} _{j}^{-1}(U)\subset \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}$ basisoffen, wobei ${\displaystyle \mathrm {pr} _{j}:\prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\to X_{j}}$ die kanonische Projektion bezeichnet. Per Definition ist ${\displaystyle \pi _{j}^{-1}(U)=\mathrm {pr} _{j}^{-1}(U)\cap L}$ und damit offen in ${\displaystyle L}$.

Wir verifizieren die universelle Eigenschaft. Sei ${\displaystyle T}$ ein beliebiger topologischer Raum und ${\displaystyle g_{i}:T\to X_{i}}$ eine Familie stetiger Abbildungen, sodass ${\displaystyle X(f)\circ g_{i}=g_{j}}$ für alle ${\displaystyle i,j\in {\mathcal {I}}}$ und alle ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)}$ gilt. Dann existiert genau eine Abbildung ${\displaystyle g:T\to L}$ mit ${\displaystyle \pi _{i}\circ g=g_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$, nämlich

${\displaystyle g:T\to L,\quad t\mapsto (g_{i}(t))_{i\in {\mathcal {I}}}}$

Diese ist stetig: Es genügt, das auf basisoffenen Mengen in ${\displaystyle L}$ nachzurechnen. Sei also ${\displaystyle U\subset L}$ offen von der Form ${\displaystyle \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}U_{i}}$ wobei ${\displaystyle U_{i}\subset X_{i}}$ offen ist und für alle außer endlich viele ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ die Gleichheit ${\displaystyle U_{i}=X_{i}}$ gilt. Es gilt

${\displaystyle g^{-1}(U)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}g_{i}^{-1}(U_{i})}$

Dieser Durchschnitt ist endlich und da die ${\displaystyle g_{i}}$ stetig ist, ist die rechte Seite offen. Also ist ${\displaystyle g^{-1}(U)}$ offen, was zu zeigen war.

${\displaystyle \Box }$