Ing Mathematik: Absolutbetrag

Der Absolutbetrag einer Zahl ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ist definiert als

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,\;{\mbox{falls}}\ x\geq 0\\-x,\;{\mbox{falls}}\ x<0\\\end{cases}}}$

Das bedeutet, dass |x| immer größer oder gleich Null ist.

Der Absolutbetrag einer Zahl ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle z=a+jb\ }$ und ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ist

${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\quad (|z|\in \mathbb {R} )}$

• ${\displaystyle |x|=|-x|\ }$

• ${\displaystyle |x-y|=|y-x|\ }$

• ${\displaystyle |xy|=|x||y|\ }$

• Für ${\displaystyle y\neq 0}$ gilt: ${\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}}}$

• ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

• Dreiecksungleichung: ${\displaystyle {\begin{cases}|x+y|\leq |x|+|y|\\|x-y|\geq |x|-|y|\end{cases}}}$

• Bestimmen Sie alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, für die ${\displaystyle |x-5|<|x+2|}$ gilt.
• Bestimmen Sie alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$, für die ${\displaystyle |x+y|\leq 1}$ gilt.