Ing Mathematik: Differenziation im Rn

 Partielle Ableitung: ... eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten...

Beispiel: ${\displaystyle z=5x^{2}y}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=z_{x}=10xy}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=z_{y}=5x^{2}}$

Allgemein: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )=f_{x_{i}}(\mathbf {a} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dotsc ,a_{i}+h,\dotsc ,a_{n})-f(a_{1},\dotsc ,a_{i},\dotsc ,a_{n})}{h}}}$

• Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) deutscher Mathematiker

Sei ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\end{bmatrix}}}$

Dann ist

${\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

die Ableitungsmatrix oder Jacobi-Matrix.

Übung: Berechnen Sie die Jacobi-Matrix für

• ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}-x\cos(2y)}$
• ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}x_{1}\cos(x_{2}+x_{3})\\x_{1}^{2}-\mathrm {e} ^{x_{2}}+3x_{3}\end{bmatrix}}}$

Siehe auch  Jacobi-Matrix

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\underbrace {\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})} _{\mathbf {g} (\mathbf {x} )}+\mathbf {k} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} _{0}}{\frac {|\mathbf {k} (\mathbf {x} )|}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}=0}$

${\displaystyle \mathbf {f} }$ kann durch die Tangentialebene angenähert werden. Diese Tangentialebene lässt sich viel einfacher berechnen, als die unter Umständen sehr komplizierte Funktion ${\displaystyle \mathbf {f} }$. Dies entspricht der Annäherung einer Kurve durch die Tangente im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (z.B.  Linearisierung im Arbeitspunkt).

Beispiel: Wir berechnen die Tangentialebene für

${\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{2};\;\mathbf {x} _{0}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle \mathbf {f} '={\begin{bmatrix}4x^{3}\\2y\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})={\begin{bmatrix}108\\2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} _{0})=3^{4}+1^{2}=82}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} _{0})+\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+k(\mathbf {x} )=\dots =\underbrace {108x+2y-244} _{g(x,y)}+k(\mathbf {x} )}$

Visuell dargestellt ergibt sich nachstehende Grafik. In Blau ist der Graph der Funktion ${\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{2}}$ gehalten. In Orange ist die Tangentialebene im Punkt (3, 1) eingefärbt.

Siehe auch  Tangentialebene

Richtungsableitung von ${\displaystyle \mathbf {f} }$ in Richtung ${\displaystyle \mathbf {a} }$ (${\displaystyle \mathbf {a} }$ sei ein Einheitsvektor):

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {a} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})\mathbf {a} }$

Für eine Funktion ergibt sich

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {a} }}f(\mathbf {x} _{0})=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} _{0})\mathbf {a} }$

Der Gradient zeigt übrigens in die Richtung des größten Wertanstiegs. Zum Gradienten siehe z.B. Ing_Mathematik:_Funktionen_mehrerer_Veränderlicher#Gradient.

Siehe auch  Richtungsableitung und  Gradient (Mathematik).

Es gelten im Wesentlichen dieselben Rechenregeln wie für den zweidimensionalen Fall.

${\displaystyle {\mathrm {d} }f=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\mathrm {d} }x_{i}}$

Siehe auch  Totales Differential

Genauso wie im zweidimensionalen Fall kann man partielle Ableitungen wieder ableiten. Dies haben wir schon im Kapitel Ing_Mathematik:_Funktionen_mehrerer_Veränderlicher#Partielle_Ableitung kurz angesprochen. Insbesondere gilt auch der Satz von Schwarz.

Wann kann man die implizit gegebene Funktion ${\displaystyle f(x,y)=0}$ nach y auflösen? Gesucht ist also ${\displaystyle y=g(x)}$.

Beispiele:

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10=0}$ lässt sich im ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nicht nach ${\displaystyle y}$ auflösen.
• ${\displaystyle x^{2}+y=0}$ lässt sich dagegen schon eindeutig auflösen.

Der Satz von der impliziten Funktion gibt nun Kriterien an, in denen sich die gegebene Funktion ${\displaystyle f}$ nach y auflösen lässt.

Dieser Satz ist einigermaßen komplex und sei hier nicht weiter ausgeführt. Aber prinzipiell kann man sagen, dass die Funktion auflösbar ist, wenn

${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0}$ gilt.

Beispiel:

${\displaystyle x^{2}+y=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=1\neq 0}$.

D.h. diese Funktion lässt sich nach ${\displaystyle y}$ auflösen: ${\displaystyle y=-x^{2}}$. Dies gilt für alle ${\displaystyle x,y}$.

Siehe auch  Satz von der impliziten Funktion

Es gelte für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle f(x,y)}$:

${\displaystyle f_{x}(x_{0},y_{0})=0;\quad f_{y}(x_{0},y_{0})=0;\quad f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}>0}$

Dann ist der Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

• eine echte Maximalstelle, wenn ${\displaystyle f_{xx}(x_{0},y_{0})<0}$
• eine echte Minimalstelle, wenn ${\displaystyle f_{xx}(x_{0},y_{0})<0}$

Siehe auch  Extremwert

Beispiel: ${\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}-3ax-3by}$

${\displaystyle z_{x}=2x+y-3a=0}$

${\displaystyle z_{y}=x+2y-3b=0}$

Dies ist ein lineares Gleichungssystem und kann z.B. mittels Gauß gelöst werden. Oder auch mit einem CAS (siehe z.B. Maxima), was wir hier machen:

${\displaystyle z_{xx}=2;\;z_{yy}=2;\;z_{xy}=1}$

${\displaystyle z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^{2}=2\cdot 2-1^{2}=3>0}$

Daraus folgt: Der Punkt an der Stelle ${\displaystyle (2a-b,2b-a,-3(a^{2}+b^{2}-ab))}$ ist ein Minimum.

Siehe vorerst  Lagrange-Multiplikator