Ing Mathematik: Ebene Kurven

• implizit: ${\displaystyle F(x,y)=0}$
• explizit: ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle x=x(t);\;y=y(t)}$

${\displaystyle r=f(\phi )}$

Ein Weg heißt rektifizierbar (streckbar), wenn folgendes gilt: ${\displaystyle L\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$. ${\displaystyle L}$ ist die Bogenlänge. In der Technik haben wir es meist mit rektifizierbaren Wegen zu tun.

Siehe auch  Weg (Mathematik).

Sei ${\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}}$. Dann ist die Bogenlänge

${\displaystyle L(\mathbf {r} )=\int _{a}^{b}|{\dot {\mathbf {r} }}|\ \mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\mathrm {d} t}$

Dies lässt sich auch so schreiben:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\dot {x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y\ \mathrm {d} t}{\mathrm {d} t\ \mathrm {d} x}}\right)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(y')^{2}}}\mathrm {d} x}$

Siehe auch  Länge_(Mathematik).

Bekanntlich ist der Flächeninhalt durch das Integral ${\displaystyle A=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y\mathrm {d} x}$ gegeben. Erweitern wir das formal um ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}}$, so erhalten wir

${\displaystyle A=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y\mathrm {d} x=\int y{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} x=\int _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}dt}$.

Ist die Kurve die gezeichnete geschlossene doppelpunktfreie Kurve (auch geschlossene  Jordankurve genannt), so liefert das Integral den Flächeninhalt des umschlossenen Gebietes. Die Drehrichtung ist im Uhrzeigersinn.

Beispiel: Wir berechnen den Flächeninhalt einer Ellipse

${\displaystyle x=a\cos t;\;y=b\sin t;\;a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\sin t}$

Wir müssen hier aufpassen, die Drehrichtung muss im Uhrzeigersinn sein. Somit gilt

${\displaystyle \int _{2\pi }^{0}{\dot {x}}y\mathrm {d} t=-ab\int _{2\pi }^{0}\sin ^{2}t\mathrm {d} t=-ab\left[{\frac {1}{2}}t-{\frac {1}{4}}\sin(2t)\right]_{2\pi }^{0}=ab\pi }$

Die Krümmung sei definiert als ${\displaystyle \kappa ={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} s}}}$.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}}$ ist ein Tangentialvektor.

${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {1}{1+\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right)^{2}}} _{\text{aus Ableitungstafel}}\underbrace {\frac {{\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}}{{\dot {x}}^{2}}} _{\text{innere Ableitung}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=|{\dot {\mathbf {r} }}|={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}}{({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})^{\frac {3}{2}}}}}$

Weiters gilt: ${\displaystyle \kappa ={\frac {y''}{(1+(y')^{2})^{\frac {3}{2}}}}}$

Man kann nun noch Links- (${\displaystyle \kappa >0}$) und Rechtskurven (${\displaystyle \kappa <0}$) unterscheiden.

Der Krümmungsradius ist definiert zu

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{|\kappa |}}}$

Übungen: Bestimmen Sie die Krümmungsradien der folgenden Kurven

• Neilsche Parabel: ${\displaystyle x=t^{2};\;y=t^{3}}$ im Punkt (1, 1)
• ${\displaystyle y=x^{4}}$ im Punkt (1, 1)

Der Tangenteneinheitsvektor berechnet sich zu

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathbf {\dot {r}} }{|\mathbf {\dot {r}} |}}=\underbrace {\frac {1}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}} _{1/|\mathbf {\dot {r}} |}\underbrace {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}} _{\mathbf {\dot {r}} }}$

Der Normalenvektor kann über das rechtwinkelige Komplement ermittelt werden.

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {1}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}}{\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}}{\begin{bmatrix}-{\dot {y}}\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

Siehe auch  Wendepunkt

Siehe auch  Scheitelpunkt

• Doppelpunkte: Kurve schneidet sich selbst, z.B. beim kartesischen Blatt (siehe auch  Doppelpunkt (Mathematik))

• Rückkehrpunkte: Spitze, z.B. bei der neilschen Parabel (siehe auch  Spitze (Singularitätentheorie))

• etc.

• Evolventen eines Kreises
• Evolvente (rot) einer Kettenlinie (blau)
• Evolute (rot) einer Ellipse (blau)

Eine Evolvente ist laut Wikipedia (siehe  Evolvente):

... Anschaulich lässt sich die Evolvente als Fadenlinie darstellen: Ein flacher Körper, dessen eine Seitenfläche die Form der Ausgangskurve hat, wird auf ein Blatt Papier gelegt. Über die Ausgangskurve ist ein dünner Faden gewickelt und straff gespannt. Am äußeren Ende des Fadens wird ein Stift befestigt, dessen Spitze auf dem Papier aufliegt. Dann wird der Faden langsam von der Kurve abgewickelt, wobei er stets straff gehalten wird. Die Kurve, die auf dem Papier entsteht, ist eine Evolvente...

Eine Evolute lässt sich lt. Wikipedia auf verschiedene Weisen definieren (siehe  Evolute):

• Sie ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Kurve bewegt, wenn dieser die gesamte Kurve durchläuft.
• Sie ist die die Hüllkurve (Enveloppe) der Normalen der gegebenen Kurve.
• Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Parameterdarstellung der Evolute:

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}={\begin{bmatrix}\xi \\\eta \end{bmatrix}}=\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {N} }{\kappa }}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\frac {({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})^{3/2}}{{\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}}}{\frac {\begin{bmatrix}-{\dot {y}}\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}}}$

${\displaystyle \xi =x-{\dot {y}}{\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{{\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}}}}$

${\displaystyle \eta =y+{\dot {x}}{\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{{\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}}}}$

Besondere Bedeutung haben Evolventen in der Technik im Bereich der Zahnräder ( Evolventenverzahnung):

Siehe auch  Zykloide.

Die gewöhnliche Zykloide (auch als gespitze Zykloide bezeichnet) ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Umfang eines Kreises beschreibt, wenn dieser Kreis auf einer Geraden abrollt. Sie gehört zu den Rollkurven.

Parametergleichung: t heißt auch Wälzwinkel.

${\displaystyle x=rt-c\sin t;\;x=r-c\sin t;\;t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle c=r\Rightarrow }$ gewöhnliche Zykloide

${\displaystyle 0<c<r\Rightarrow }$ verkürzte (oder gestreckte) Zykloide

${\displaystyle c>r\Rightarrow }$ verlängerte (oder verschlungene) Zykloide

Zykloiden sind Trochoiden.

Bedeutung haben Zykloiden im Bereich der Getriebetechnik (siehe z.B.  Zahnrad#Zykloidenverzahnung und  Zykloidgetriebe)

• Zykloidenverzahnung
• Zykloidgetriebe

Aus der Parametergleichung finden wir:

${\displaystyle {\dot {x}}=r-c\cos t;\;{\dot {y}}=-c\sin t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(r-c\cos t)^{2}+c^{2}\sin ^{2}t}}\mathrm {d} t=\\\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}-2rc\cos t+c^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\sin ^{2}t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+c^{2}-2rc\cos t}}\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Mit einer kleinen Umformung führt dies auf eine elliptische Gleichung, die nicht elementar zu lösen ist. Z.B. aus einer Formelsammlung erhält man folgende Gleichung

${\displaystyle \sin ^{2}u={\frac {1}{2}}(1-\cos 2u)}$

Für ${\displaystyle u={\frac {t}{2}}}$ folgt:

${\displaystyle \cos t=1-2\sin ^{2}\left({\frac {t}{2}}\right)}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(r-c)^{2}+4rc\sin ^{2}{\frac {t}{2}}}}\mathrm {d} t}$

Ist aber der Sonderfall einer gewöhnlichen Zykloide gegeben (${\displaystyle r=c}$), so ist das Problem einfach zu lösen:

${\displaystyle L=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\mathrm {d} t\underbrace {=} _{\text{z.B. durch Substitution}}-4r\cos {\frac {t}{2}}|_{0}^{2\pi }=-4r[\underbrace {cos\pi } _{-1}-\underbrace {\cos 0} _{1}]=8r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A=-\int _{0}^{2\pi }{\dot {y}}x\mathrm {d} t=-\int _{0}^{2\pi }c\sin t(rt-c\sin t)\mathrm {d} t=-rc\int _{0}^{2\pi }t\sin t\mathrm {d} t+c^{2}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t\mathrm {d} t=\\-rc[\sin t-t\cos t]_{0}^{2\pi }+c^{2}[{\frac {1}{2}}t-{\frac {1}{4}}\sin(2t)]_{0}^{2\pi }=2rc\pi +c^{2}\pi =\pi (2rc+c^{2})\end{aligned}}}$

Für die gewöhnliche Zykloide gilt somit:

${\displaystyle A=3r^{2}\pi }$

• gewöhnliche Epizykloide
• verkürzte Epizykloide

Eine Kreisscheibe 1 rollt außen auf einer anderen Kreisscheibe 2 ab. Ein auf der Kreisscheibe 1 festgelegter Punkt beschreibt dann eine Epizykloide.

Es soll die Parametergleichung der gewöhnlichen Epizykloide mit Hilfe der Vektorrechnung hergeleitet werden:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=\mathbf {R} +\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}R\cos \alpha \\R\sin \alpha \end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}r\cos(\alpha +\beta -\pi )\\r\sin(\alpha +\beta -\pi )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R\cos \alpha \\R\sin \alpha \end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}r\cos(\alpha +\beta )\\r\sin(\alpha +\beta )\end{bmatrix}}}$

Es gilt auch ${\displaystyle R\alpha =r\beta \Rightarrow \beta ={\frac {R}{r}}\alpha }$ (die in rot gezeichneten Bogenlängen müssen gleich sein).

Eingesetzt ergibt sich die Parameterform

${\displaystyle x=(R+r)\cos \alpha -r\cos \left(\left(1+{\frac {R}{r}}\right)\alpha \right)}$

${\displaystyle y=(R+r)\sin \alpha -r\sin \left(\left(1+{\frac {R}{r}}\right)\alpha \right)}$

Siehe auch  Epizykloide.

${\displaystyle c=r\Rightarrow }$ gewöhnliche Epizykloide

${\displaystyle c<r\Rightarrow }$ verkürzte (oder gestreckte) Epizykloide

${\displaystyle c>r\Rightarrow }$ verlängerte (oder verschlungene) Epizykloide

Epizykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn das Längenverhältnis ${\displaystyle q={\frac {R}{r}}}$ der Radien rational ist (Quelle:  Epizykloide#Geschlossenheit)

Zwecks Herleitung siehe vorerst  Epizykloide#Länge.

Zwecks Herleitung siehe vorerst  Epizykloide#Flächeninhalt.

• Wankelmotor

Eine Kreisscheibe 1 rollt innen auf einer anderen Kreisscheibe 2 ab. Ein auf der Kreisscheibe 1 festgelegter Punkt beschreibt dann eine Hypozykloide.

• gespitzte Hypozykloide (Sonderfall: Astroide)
• verlängerte Hypozykloide
• verkürzte Hypozykloide

Parametergleichung der gewöhnlichen Hypozykloide:

${\displaystyle x=(R-r)\cos \alpha +r\cos(({\frac {R}{r}}-1)\alpha )}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin \alpha -r\sin(({\frac {R}{r}}-1)\alpha )}$

Siehe auch  Hypozykloide.

Übung: Leiten Sie die Parametergleichung der gewöhnlichen Hypozykloide her.

${\displaystyle c=r\Rightarrow }$ gewöhnliche Hypozykloide

${\displaystyle c<r\Rightarrow }$ verkürzte (oder gestreckte) Hypozykloide

${\displaystyle c>r\Rightarrow }$ verlängerte (oder verschlungene) Hypozykloide

Hypozykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn das Längenverhältnis ${\displaystyle q={\frac {R}{r}}}$ der Radien rational ist (Quelle:  Hypozykloide#Geschlossenheit).

Wenn ${\displaystyle r=R=c}$, dann geht die Epizykloide in eine Kardioide über. Siehe diesbezüglich auch  Kardioide

• Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) italienischer Astronom und Mathematiker

${\displaystyle {\overrightarrow {P_{1}P}}\cdot {\overrightarrow {P_{2}P}}=c^{2}}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4};\quad a,c\in \mathbb {R} _{0}^{+}\quad }$ mit

${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ und ${\displaystyle P_{2}=(-a,0)}$.

Siehe diesbezüglich auch  Cassinische Kurve.

• Lemniskatenlenker

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}P}}\cdot {\overrightarrow {F_{2}P}}=a^{2}}$

${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}=2a}$

Parametergleichung:

${\displaystyle x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)}{\sin ^{2}(t)+1}}}$

${\displaystyle y={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)\sin(t)}{\sin ^{2}(t)+1}}}$

mit ${\displaystyle 0\leq t<2\pi }$.

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)=0}$

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {a{\sqrt {4x^{2}+a^{2}}}-x^{2}-a^{2}}}}$

Bedeutung hat die Lemniskate in der Getriebelehre:

•  Watt-Gestänge
• Eisenbahnradsatz

Siehe auch  Lemniskate und  Lemniskate von Bernoulli

• Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) italienische Mathematikerin

Konstruktion (Quelle:  Versiera der Agnesi)

...Beginnend mit einem festen Kreis wird ein Punkt O auf dem Kreis gewählt. Für jeden anderen Punkt A auf dem Kreis wird die Sekante OA gezeichnet. Der Punkt M ist diametrisch gegenüberliegend zu O. Die Linie OA schneidet die Tangente in M am Punkt N. Die Linie parallel zu OM durch N und die Linie rechtwinklig zu OM durch A schneiden sich in P. Wird der Punkt A geändert, so ist der Weg von P die Versiera der Agnesi...

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle (x^{2}+a^{2})y-a^{3}=0}$

Parameterform:

${\displaystyle x=at}$

${\displaystyle y={\frac {a}{t^{2}+1}}}$

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x=a\sin(bt)\sin(t)}$

${\displaystyle y=a\sin(bt)\cos(t)}$

Siehe z.B. [1] und Burg, Haf, Wille, Meister: Vektoranalysis; 2. Aufl., Springer, 2012, Seite 68f.

• René Descartes (1596-1650) französischer Mathematiker und Naturwissenschaftler

Das kartesische Blatt sei definiert durch die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}$

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x={\frac {3at}{1+t^{3}}}}$

${\displaystyle y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}}$

Siehe auch  Kartesisches Blatt.

Parametergleichung:

${\displaystyle x={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}}$

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle -y^{2}(2a-x)+x^{3}=0}$

Siehe auch  Zissoide des Diokles

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x={\frac {a(t^{2}-1)}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {at(t^{2}-1)}{1+t^{2}}}}$

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle (a+x)x^{2}-(a-x)y^{2}=0}$

Siehe auch  Strophoide

• Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. - 212 v. Chr.) griechischer Mathematiker, Physiker, Ingenieur
• Anwendung: Schallplatte
• Anwendung: Lakritz-Schnecken

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x=at\cos t}$

${\displaystyle y=at\sin t}$

Polardarstellung:

${\displaystyle r=a\cdot \varphi }$

Siehe auch  Archimedische Spirale

Polarkoordinaten:

${\displaystyle r(\varphi )=ae^{k\varphi }}$

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x(\varphi )=r(\varphi )\cos {\varphi }=ae^{k\varphi }\cos {\varphi }}$

${\displaystyle y(\varphi )=r(\varphi )\sin {\varphi }=ae^{k\varphi }\sin {\varphi }}$

Die logarithmische Spirale kommt in der Natur oftmals vor:

• Schnitt einer Nautilus-Schale
• Tiefdruckwirbel
• Spiralgalaxie

Siehe auch  Logarithmische Spirale

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}}$

${\displaystyle y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}}$

Sieh auch  Hyperbolische Spirale

• Marie Alfred Cornu (1841-1902) französischer Physiker

Die Klothoide wird auch Cornu-Spirale genannt.

Siehe auch  Klothoide.

Parameterdarstellung:

${\displaystyle x=a(\cos t)^{2}+b\cos t}$

${\displaystyle y=a\cos t\sin t+b\sin t}$

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}-b^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0}$

Polarkoordinaten:

${\displaystyle r=a\cos \varphi +b}$

Ein Sonderfall der pascalschen Schnecke ist die Kardioide.

Siehe auch  Pascalsche Schnecke.

${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}}$

Die Katenoide ist die Evolute der Traktrix (Quelle: Bronstein: Taschenbuch der Mathematik; 7. Aufl., Harri Deutsch, 2008, Seite 108). Katenoide (Kettenlinien) werden häufig in der Architektur oder im Bauwesen verwendet. Aber auch in der Natur treten sie auf:

Siehe auch  Kettenlinie (Mathematik).

${\displaystyle y=\pm \ d\cdot \underbrace {\ln \left|{d+{\sqrt {d^{2}-x^{2}}} \over x}\right|} _{=\operatorname {arcosh} {\frac {d}{x}}}\mp {\sqrt {d^{2}-x^{2}}}}$

Bedeutung hat die Traktrix (Schleppkurve) u.a. im Straßenbau und in der Fahrzeugtechnik.

Siehe auch  Traktrix

• Jules Antoine Lissajous (1822-1880) französischer Physiker

${\displaystyle x=A_{x}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})}$

${\displaystyle y=A_{y}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2})}$

Lissajous-Figuren sind dann periodisch (geschlossene Figur), wenn das Frequenzverhältnis ${\displaystyle v={\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}}$ rational ist.

Siehe auch  Lissajous-Figur