Ing Mathematik: Tensoren

Wichtige Personen, die den Begriff Tensor geprägt haben:

• Woldemar Voigt (1850 - 1919) deutscher Physiker
• Gregorio Ricci-Curbastro (1853 - 1925) italienischer Mathematiker
• Tullio Levi-Civita (1873 - 1941) italienischer Mathematiker und Physiker
• Albert Einstein (1879 - 1955) theoretischer Physiker

Hier wird nur kurz auf die Tensorrechnung eingegangen. Ausführlicher soll das im 5. Band dieser Buchreihe erfolgen, da insbesondere für die Tensoranalysis Grundkenntnisse der Vektoranalysis erforderlich sind.

Man unterscheidet

• Tensoren 0. Stufe: Skalare
• Tensoren 1. Stufe: Vektoren
• Tensoren 2. Stufe: Dyaden (${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen)
• Tensoren 3. Stufe: Triaden
• etc.

• Symbolische Darstellung
• Indexschreibweise: ${\displaystyle a,\;a_{i},\;a_{ij}}$ etc.

Fast jeder Autor verwendet seine eigene Schreibweise für die symbolische Darstellung. Wir werden hier folgende verwenden, die sich an Schade, Neemann: Tensoranalysis; 3. Aufl., de Gruyter, 2009 anlehnt:

• Skalar: ${\displaystyle a}$
• Tensor 1. Stufe: ${\displaystyle {\underline {a}}}$
• Tensor 2. Stufe: ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$
• Tensor n. Stufe: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Tritt in einem Glied ein laufender Index doppelt auf, soll über seinen Wertevorrat summiert werden, ohne dass das durch ein Summenzeichen gekennzeichnet wird. Z.B.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\ldots +a_{nn}=\operatorname {Spur} ({\underline {\underline {A}}})}$

Ein laufender Index darf in einem Glied nicht mehr als zweimal auftreten. ${\displaystyle a_{iii}}$ ist also nicht definiert.

Übung: Schreiben Sie den Ausdruck ${\displaystyle a_{i}b_{i}}$ für ${\displaystyle n=3}$ aus.

Soll die Summationskonvention ausnahmsweise einmal nicht gelten, so wird ein entspechender Index unterstrichen, z.B. ${\displaystyle A_{{\underline {i}}i}}$. Andere Autoren streichen die Indizes durch, z.B. ${\displaystyle A_{\not {i}\not {i}}}$

Beispiel:

• Summationskonvention gilt: ${\displaystyle A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}+\ldots }$
• Summationskonvention gilt nicht: ${\displaystyle A_{{\underline {i}}i}=A_{11},\;A_{22},\;A_{33},\;\ldots }$

Siehe auch  Einsteinsche Summenkonvention

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\mbox{falls }}\quad i=j,\\0,&{\mbox{falls }}\quad i\neq j.\end{cases}}}$

Das Kronecker-Delta entspricht der Einheitsmatrix ${\displaystyle {\underline {\underline {E}}}}$:

${\displaystyle {\underline {\underline {\delta }}}={\underline {\underline {E}}}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$

Ausblendeigenschaft des Kronecker-Deltas:

${\displaystyle a_{i}\delta _{ij}=a_{j}}$

Z.B. für ${\displaystyle j=2}$: ${\displaystyle a_{i}\delta _{i2}=a_{1}\underbrace {\delta _{12}} _{0}+a_{2}\underbrace {\delta _{22}} _{1}+a_{3}\underbrace {\delta _{32}} _{0}+\ldots =a_{2}}$

Von Wikipedia übernommen ( Levi-Civita-Symbol):

${\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1,&{\text{wenn }}(i,j,k,\dots ){\text{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\text{ ist,}}\\-1,&{\text{wenn }}(i,j,k,\dots ){\text{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\text{ ist,}}\\0,&{\text{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}}$

Übungen: Berechnen Sie für ${\displaystyle n=3}$

• ${\displaystyle \delta _{ii}}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}}$

Es gilt dasselbe, was bereits in der Matrizenrechnung zu diesem Thema gesagt wurde.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren haben wir schon in Ing_Mathematik:_Vektoren#Skalarprodukt kennengelernt.

${\displaystyle {\underline {a}}\cdot {\underline {b}}=a_{i}b_{i}=c}$

Das Vektorprodukt kennen wir schon aus Ing_Mathematik:_Vektoren#Vektorprodukt.

${\displaystyle {\underline {a}}\times {\underline {b}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\underline {e}}_{k}={\underline {c}}}$

Neu ist das dyadische Produkt. Siehe dazu auch  Dyadisches Produkt. Es sei hier folgendermaßen geschrieben:

${\displaystyle {\underline {a}}{\underline {b}}={\underline {a}}\otimes {\underline {b}}={\underline {\underline {C}}}}$.

Berechnen lässt es sich z.B. mit dem falkschen Schema (Zeile * Spalte).

Gegeben sei ${\displaystyle a_{ij}}$. Setzt man 2 Indizes gleich, so ergibt sich die Verjüngung ${\displaystyle a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\ldots }$.

Siehe auch  Tensorverjüngung.

• Einfache Überschiebung ${\displaystyle a_{ij}b_{kl}\Rightarrow a_{ij}b_{jl}}$
• Doppelte Überschiebung ${\displaystyle a_{ij}b_{kl}\Rightarrow a_{ij}b_{ji}}$

Ein polarer Vektor ist das, was wir bisher als Vektor betrachtet haben. Er ist durch Länge und Richtung gegeben.

Ein axialer Vektor (Pseudo- oder Drehvektor) ist ein Vektor, der auch einen Drehsinn hat. Das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ist ein solcher axialer Vektor. Das Kreuzprodukt aus einem axialen und einem polaren Vektor ist allerdings ein polarer Vektor, z.B. bekannt aus der Kinematik ${\displaystyle {\underline {v}}={\underline {\omega }}\times {\underline {r}}}$. ${\displaystyle {\underline {\omega }}}$ ist ein axialer Vektor, ${\displaystyle {\underline {v}}}$ und ${\displaystyle {\underline {r}}}$ sind polare Vektoren.

Siehe auch  Axialer Vektor und  Kreuzprodukt#Polare_und_axiale_Vektoren

Wir führen diese Begriffe hier anhand eines Beispiels aus der Elastizitätstheorie ein.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{m}&0&0\\0&\sigma _{m}&0\\0&0&\sigma _{m}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{m}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{m}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{m}&0&0\\0&\sigma _{m}&0\\0&0&\sigma _{m}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\\\end{bmatrix}}}$

mit ${\displaystyle \sigma _{m}={\frac {1}{3}}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})={\frac {1}{3}}\sigma _{kk}}$ folgt

${\displaystyle \sigma _{ij}=\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{3}}\sigma _{kk}} ^{\sigma _{m}}\delta _{ij}} _{\text{Kugeltensor}}+\underbrace {s_{ij}} _{\text{Deviator}}}$

Der Kugeltensor beschreibt hier den hydrostatischen Spannungszustand. Deviator heißt so viel wie "Abweichler".

Genaueres dazu lässt sich z.B. aus Gross, Hauger, Wriggers: Technische Mechanik 4; Springer, 9. Aufl., 2014, Seite 85f entnehmen.

Siehe auch  Kugeltensor und  Deviator.

Siehe allgemein für die Tensorrechnung z.B. auch  Tensor,  Formelsammlung Tensoralgebra und Einführung in die Tensorrechnung.