Ing Mathematik: Wichtige Funktionen

Es sei ${\displaystyle a\ >\ 0}$, sowie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dann ist

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\;mal}}$

a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz ${\displaystyle a^{n}}$ (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß ${\displaystyle a^{n}}$ für jedes ${\displaystyle 0<a<\infty }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {R} }$ definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für ${\displaystyle a>1}$ monoton steigend, für ${\displaystyle 0<a<1}$ monoton fallend.

• ${\displaystyle a^{0}\ =1}$
• ${\displaystyle a^{1}\ =a}$
• ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$
• ${\displaystyle r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}$
• ${\displaystyle a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}}$
• ${\displaystyle a^{n-m}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}}$
• ${\displaystyle a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}}$
• ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}$

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ folgendermaßen definiert werden

• ${\displaystyle e^{z}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {z^{i}}{i!}}}$

oder

• ${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$

• Radioaktiver Zerfallsprozess
• Barometrische Höhenformel: ${\displaystyle p(h_{1})=p(h_{0})\mathrm {e} ^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h}}$
• Lade-/Entladevorgang beim Kondensator: ${\displaystyle u_{\text{C}}(t)=U_{0}+\left(U_{{\text{C}},t_{0}}-U_{0}\right)\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}}$

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man ${\displaystyle \,\log _{a}x}$. Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise ${\displaystyle \,_{a}\log x}$ zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

${\displaystyle y=a^{x}}$

${\displaystyle x=\log _{a}y}$

• ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(1\right)=0}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(a\right)=1}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x}$
• ${\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}$

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

${\displaystyle \log _{2}x\ =\ {\mbox{lb}}\ x}$

oder

${\displaystyle \log _{2}x\ =\ {\mbox{ld}}\ x}$

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

${\displaystyle \log _{10}x\ =\ \lg x}$

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

${\displaystyle \log _{e}x\ =\ \ln x}$

oder

${\displaystyle \log _{e}x\ =\ \log x}$

${\displaystyle x=a^{\log _{a}x}=b^{\log _{b}x}}$

${\displaystyle b=a^{\log _{a}b}}$

eingesetzt

${\displaystyle a^{\log _{a}x}=a^{\log _{a}b^{\log _{b}x}}=a^{\log _{b}x\cdot \log _{a}b}}$

daraus folgt, dass

${\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

${\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}$

ableiten.

${\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b}}}$

${\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}$

• Funktionen auf doppeltlogarithmischem Papier
• Prinzip des Rechenschiebers, ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$
• Schalldruckpegel-Messgerät, ${\displaystyle L_{\mathrm {p} }=20\,\lg \left({\frac {\tilde {p}}{p_{0}}}\right)\,\mathrm {dB} }$

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

${\displaystyle \phi \ ={\frac {s}{r}}}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

${\displaystyle U=2\pi r=\phi _{V}\cdot r}$.

Somit gilt für den Vollkreis

${\displaystyle \phi _{V}\ =\ 2\pi }$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen ${\displaystyle 2\ \pi }$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°]	Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1	${\displaystyle {\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}}$
45	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
~57,3	1
90	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
180	${\displaystyle \pi \ }$
360	${\displaystyle 2\pi \ }$

Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{180}}\varphi }$

mit ${\displaystyle \phi \ }$ in [rad] und ${\displaystyle \varphi }$ in [°].

Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird ${\displaystyle \phi \ =\ 1}$. Am Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

• ${\displaystyle \sin(-x)\ =\ -\sin x}$
• ${\displaystyle \cos(-x)\ =\ \cos x}$

Sinus und Kosinus (statt Cosinus wird häufig auch Kosinus geschrieben) sind periodische Funktionen, es gilt:

• ${\displaystyle \sin(x+2k\pi )\ =\ \sin x}$
• ${\displaystyle \cos(x+2k\pi )\ =\ \cos x}$

Des Weiteren gilt:

• ${\displaystyle \cos(x)\ =\ \sin(x-{\frac {\pi }{2}})}$

Definition:

• ${\displaystyle \sin x=\Im \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$
• ${\displaystyle \cos x=\Re \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

${\displaystyle e^{ix}=\Re \left(e^{ix}\right)+\Im \left(e^{ix}\right)=\cos x+i\sin x}$

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}$

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:

${\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ e^{ix-ix}\ =\ 1}$

${\displaystyle e^{ix}\ =\ \cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle e^{-ix}\ =\ \cos x-i\sin x}$

${\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}$

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

• ${\displaystyle |\sin x|\ \leq 1}$
• ${\displaystyle |\cos x|\ \leq 1}$

sein muss.

• ${\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}$
• ${\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}$
• ${\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}$
• ${\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}$
• ${\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}$
• ${\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}$

Übung: Leiten Sie die Additionstheoreme her.

Ein Beispiel aus der Technik (Schwingungen):

• Tangens
• Cotangens

${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {1}{\cot x}}}$

${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}}$

Beispiel für den Tangens (Steigung):

Hauptwerte der Arkusfunktionen:

• Arkussinus und Arkuskosinus
• Arkustangens und Arkuskotangens

Sinus hyperbolicus (oder Hyperbelsinus), Kosinus hyperbolicus (oder Hyperbelkosinus), Tangens hyperbolicus (oder Hyperbeltangens):

${\displaystyle \sinh(x):={\frac {\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}{2}}}$

${\displaystyle \cosh(x):={\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}{2}}}$

${\displaystyle \tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}}{\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{y}}}}$

Übungen: Leiten Sie

• ${\displaystyle \sinh x+\cosh x=e^{x}}$
• ${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$
• ${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}$
• ${\displaystyle \sinh(x+y)=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y}$

her.

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen.

• Areasinus hyperbolicus
• Areakosinus hyperbolicus
• Areatangens hyperbolicus

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\quad x\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\quad |x|<1}$

Übung: Leiten Sie die obigen Formeln (Area... hyperbolicus) her.

Polynom n-ten Grades:

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\in \mathbb {N} _{0},\quad a_{n}\neq 0}$

• Polynome 1. Grades (Geraden ${\displaystyle y=kx+d}$)
• Polynome 2. Grades (Normalparabeln ${\displaystyle y=ax^{2}}$)
• Polynom 5. Grades

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}}$

Ein Kreis lässt sich als ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ darstellen. Eine andere Darstellungsweise geht vom Parameter ${\displaystyle \phi }$ (Winkel) aus (der Radius r sei konstant):

${\displaystyle x=r\cos \phi }$

${\displaystyle y=r\sin \phi }$

mit ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$

Dies nennt man die Parameterdarstellung des Kreises. Ein anderes Beispiel ist die archimedische Spirale:

${\displaystyle x=at\cos t}$

${\displaystyle y=at\sin t}$

mit ${\displaystyle 0\leq t\leq 6\pi ;\quad a>0}$.

Diese archimedische Spirale kann übrigens nicht in der Form ${\displaystyle y=f(x)}$ dargestellt werden.

Die Parameterdarstellung der Geraden wurde im Kapitel Ing_Mathematik:_Vektoren#Geraden bereits behandelt.