Lineare Algebra: Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ und sei ${\displaystyle F:V\rightarrow V}$ ein Endomorphismus. Dann heißt ${\displaystyle \lambda \in K}$ Eigenwert von ${\displaystyle F}$ genau dann, wenn es ein ${\displaystyle x\in V}$ mit ${\displaystyle x\neq 0}$ gibt, so dass ${\displaystyle F(x)=\lambda x}$. Dann heißt ${\displaystyle x}$ Eigenvektor von ${\displaystyle F}$ zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$. Die Menge ${\displaystyle \mathrm {Eig} (F,\lambda )}$ aller ${\displaystyle x\in V}$, die die Gleichung ${\displaystyle F(x)=\lambda x}$ Erfüllen, heißt Eigenraum von ${\displaystyle F}$ zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$.

Analog definiert man Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume quadratischer Matrizen, indem man diese vermöge der Multiplikation als Endomorphismen des ${\displaystyle K^{n\times n}}$ auffasst.

Offensichtlich sind Eigenräume Unterräume, denn für ${\displaystyle \alpha \in K}$ und ${\displaystyle v,w\in Eig(F,\lambda )}$ gilt auch:

• ${\displaystyle F(v+w)=F(v)+F(w)=\lambda v+\lambda w=\lambda (v+w)}$, also ${\displaystyle v+w\in Eig(F,\lambda )}$
• ${\displaystyle F(\alpha x)=\alpha F(x)=\alpha \lambda x=\lambda (\alpha x)}$, also ${\displaystyle \alpha x\in Eig(F,\lambda )}$

Nun stellt sich die Frage, wie man die Eigenwerte berechnet. Sprich es ist eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle F(x)=\lambda x}$ gesucht.
${\displaystyle F(x)=\lambda x\Leftrightarrow }$
${\displaystyle (F-\lambda \cdot id)x=0\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle det(F-\lambda \cdot id)=0}$
Nun erkennt man, dass die Eigenwertbestimmung auf die Berechnung einer Determinanten zurückgeführt wurde. Genauer gesagt, muss man die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms berechen:
${\displaystyle P(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}spur(F)\lambda ^{n-1}+\cdots +det(A)\lambda ^{0}}$

Um die Eigenvektoren zu einem Eigenwert, also den Eigenraum ${\displaystyle Eig(F,\lambda )}$ zu bestimmen, berechnet man ${\displaystyle Ker(F-\lambda id)}$ .