Basiswechselmatrizen – „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel lernen wir Basiswechselmatrizen kennen. Mithilfe von Basiswechselmatrizen kann man Koordinaten bzgl. einer gegebenen Basis in Koordinaten bzgl. einer anderen Basis umrechnen. Das ist insbesondere nützlich für das Rechnen mit Abbildungsmatrizen.

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum ist, gibt es eine Basis ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$ von ${\displaystyle V}$. Also lässt sich jeder Vektor ${\displaystyle v\in V}$ eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ schreiben, d.h. ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}}$ mit eindeutigen ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K}$.

Weiter wissen wir, dass Vektorräume mehr als eine Basis haben können. Sei ${\displaystyle C=\{c_{1},\ldots ,c_{n}\}}$ eine zweite Basis von ${\displaystyle V}$. Dann können wir ${\displaystyle v}$ auch eindeutig als Linearkombination der ${\displaystyle c_{i}}$ schreiben, d.h. ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}c_{i}}$ mit eindeutigen ${\displaystyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\in K}$.

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors ${\displaystyle v}$. Über die Basis ${\displaystyle B}$ bekommen wir die Darstellung ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}}$ und über die Basis ${\displaystyle C}$ erhalten wir ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}c_{i}}$.

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich ${\displaystyle B}$ des Vektors ${\displaystyle v}$ in die Darstellung bezüglich ${\displaystyle C}$ überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen, wie wir weiter unten im Abschnitt Anwendung von Basiswechselmatrizen sehen werden. Abbildungsmatrizen erlauben uns, mit Koordinaten statt mit Vektoren von ${\displaystyle V}$ zu rechnen. Die Koordinaten eines Vektors hängen aber immer von der gewählten Basis in ${\displaystyle V}$ ab. Wir wollen eine einfache Möglichkeit, um Koordinaten beliebiger Vektoren bzgl. einer Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ in Koordinaten bzgl. einer anderen Basis ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle V}$ umzurechnen.

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den ${\displaystyle K^{n}}$ und setzen ${\displaystyle B=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ als die (geordnete) Standardbasis fest. Sei weiter ${\displaystyle C=(c_{1},\ldots ,c_{n})}$ eine beliebige geordnete Basis des ${\displaystyle K^{n}}$. Weil Abbildungsmatrizen von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängen, müssen wir für ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ geordnete Basen benutzen.

Sei ${\displaystyle v=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ ein Vektor, dessen Koordinaten bezüglich der Standardbasis ${\displaystyle B}$ wir kennen. Der Vektor ${\displaystyle v\in K^{n}}$ lässt sich in der Basis ${\displaystyle C}$ schreiben als ${\displaystyle v=\lambda _{1}c_{1}+\cdots +\lambda _{n}c_{n}}$ für eindeutig bestimmte ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K}$. Wie können wir die Koordinaten ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K}$ von ${\displaystyle v}$ bzgl. ${\displaystyle C}$ einfach aus den Koordinaten ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ von ${\displaystyle v}$ bzgl. der Standardbasis ${\displaystyle B}$ berechnen?

Dafür wollen wir die Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ beschreiben, die jeden Vektor ${\displaystyle v=(x_{1},...,x_{n})^{T}\in K^{n}}$ auf seinen Koordinatenvektor ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}}$ bzgl. ${\displaystyle C}$ abbildet. Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung ${\displaystyle k_{C}:K^{n}\to K^{n}}$, die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Sie ist linear.

Um ${\displaystyle k_{C}}$ zu beschreiben, können wir die darstellende Matrix ${\displaystyle M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C})}$ bzgl. der Standardbasis ${\displaystyle B=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ berechnen. Per Definition der darstellenden Matrix im ${\displaystyle K^{n}}$ erhalten wir dann den gesuchten Koordinatenvektor ${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})^{T}}$, indem wir ${\displaystyle v=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}}$ von links mit ${\displaystyle M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C})}$ multiplizieren.

Um die Matrix ${\displaystyle M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C})}$ zu berechnen, müssen wir ${\displaystyle k_{C}(e_{1}),\ldots ,k_{C}(e_{n})}$ bestimmen. Diese bilden dann die Spalten von ${\displaystyle M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C})}$. Wir suchen also die Koordinaten von ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ bzgl. ${\displaystyle C}$, müssen diese also als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle C}$ schreiben. Wir erhalten ${\displaystyle n}$ Gleichungen

wobei die ${\displaystyle a_{ij}}$ die gesuchten Koordinaten sind. Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{ij}}$ kann man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems bestimmen.

Dann ist ${\displaystyle k_{C}(e_{j})=(a_{1j},a_{2j},\ldots ,a_{nj})^{T}}$ für ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$. Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix

Wir erhalten ${\displaystyle M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C})y=k_{C}(y)}$ für alle ${\displaystyle y\in K^{n}}$. Die gesuchten Vorfaktoren ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ erhalten wir also durch

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ gibt es anders als im ${\displaystyle K^{n}}$ keine Standardbasis. In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen ${\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{n})}$ und ${\displaystyle C=(c_{1},\dots ,c_{n})}$. Weiter haben wir einen beliebigen Vektor ${\displaystyle v\in V}$ gegeben als Linearkombination ${\displaystyle v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}}$ bzgl. der Basis ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in K}$. Die Koeffizienten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ werden auch die Koordinaten von ${\displaystyle v}$ bzgl. ${\displaystyle B}$ genannt. Entsprechend sind die Koordinaten bzgl. der Basis ${\displaystyle C}$ gewisse Skalare ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K}$ mit ${\displaystyle v=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}}$.

Wir suchen eine Methode, um die Koordinaten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ bzgl. ${\displaystyle B}$ eines beliebigen Vektors ${\displaystyle v\in V}$ in die Koordinaten ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ bzgl. ${\displaystyle C}$ umzurechnen. Wir benötigen also eine Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$, die ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ auf ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}}$ abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen ${\displaystyle k_{B}:V\to K^{n}}$ mit ${\displaystyle k_{B}(v)=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}}$ und ${\displaystyle k_{C}:V\to K^{n}}$ mit ${\displaystyle k_{C}(v)=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}}$. Wir wollen aus ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}}$ den Vektor ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}}$ erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt ${\displaystyle k_{B}^{-1}:K^{n}\to V}$ den Vektor ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ auf ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle k_{C}:V\to K^{n}}$ bildet ${\displaystyle v}$ auf ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}}$ ab. Führen wir erst ${\displaystyle k_{B}^{-1}}$ und anschließend ${\displaystyle k_{C}}$ aus, so erhalten wir eine Abbildung, die ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ auf ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}}$ abbildet.

Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung ${\displaystyle k_{C}\circ k_{B}^{-1}:K^{n}\to K^{n}}$ realisiert. Wir können dann, wie oben bei der Situation im ${\displaystyle K^{n}}$, die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im ${\displaystyle K^{n}}$ bezüglich der Standardbasis bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann ${\displaystyle M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C}\circ k_{B}^{-1})}$. Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(\operatorname {id} _{V})}$, wegen ${\displaystyle k_{C}\circ k_{B}^{-1}=k_{C}\circ \operatorname {id} _{V}\circ k_{B}^{-1}}$.

Es ergibt auch intuitiv Sinn, dass die Basiswechselmatrix von ${\displaystyle B}$ nach ${\displaystyle C}$ genau durch die darstellende Matrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(\operatorname {id} _{V})}$ der Identität bzgl. den Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ gegeben ist. Denn multiplizieren wir den Koordinatenvektor ${\displaystyle k_{B}(v)}$ bzgl. ${\displaystyle B}$ eines Vektors ${\displaystyle v\in V}$ von links mit ${\displaystyle M_{C}^{B}(\operatorname {id} _{V})}$, so erhalten wir per Definition der darstellenden Matrix genau den Koordinatenvektor bzgl. ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}(v)=v}$. Es gilt also

für alle ${\displaystyle v\in V}$. Die Matrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(\operatorname {id} _{V})}$ rechnet also Koordinaten bzgl. ${\displaystyle B}$ in Koordinaten bzgl. ${\displaystyle C}$ um. Das ist genau, was die Basiswechselmatrix auch macht.

Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Basisübergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet.

Wir können für jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zwischen zwei endlich dimensionalen Vektorräumen eine Abbildungsmatrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)}$ finden. Diese hängt aber von der Wahl der geordneten Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ ab. Wählen wir andere Basen ${\displaystyle B'}$ oder ${\displaystyle C'}$, erhalten wir wahrscheinlich eine andere Abbildungsmatrix. Das sehen wir in folgendem Beispiel:

Gegeben sind eine Abbildung ${\displaystyle f:V\to W}$ und geordnete Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle B'}$ von ${\displaystyle V}$ sowie ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle C'}$ von ${\displaystyle W}$. Wir stellen uns folgende Frage: Wie können wir die Darstellungsmatrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)}$ in die Darstellungsmatrix ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ überführen?

Wir wollen uns im Folgenden überlegen, warum die Formel aus dem Satz richtig ist und wie man darauf kommt.

Aus der Definition der Darstellungsmatrix wissen wir, dass für alle Vektoren ${\displaystyle x\in K^{n}}$ gilt ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)x=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}(x)}$ und ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)x=k_{C'}\circ f\circ k_{B'}^{-1}(x)}$. Diese Gleichung können wir einem Diagram veranschaulichen:

Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht. Zum Beispiel ist es egal, ob wir mit ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle V}$ direkt nach ${\displaystyle W}$ gehen oder den Umweg über ${\displaystyle K^{n}}$ und ${\displaystyle K^{m}}$ einschlagen. Entsteht bei jedem Weg die gleiche Abbildung, spricht man von einem kommutierenden Diagramm.

Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

Auch dieses Diagramm kommutiert wieder. Das heißt, wenn man einen festen Start- und Endpunkt hat, ist es immer noch egal, welchen Weg man im Diagramm geht. Es kommt immer die gleiche Abbildung heraus. Wenn wir links oben bei ${\displaystyle K^{n}}$ starten, ist es also egal, welchen Weg wir nutzen, um zum ${\displaystyle K^{m}}$ unten links zu kommen. Wir können über ${\displaystyle x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x}$ von ${\displaystyle K^{n}}$ nach ${\displaystyle K^{m}}$ gelangen oder zuerst ${\displaystyle k_{B}\circ k_{B'}^{-1}:K^{n}\to K^{n}}$, dann ${\displaystyle x\mapsto M_{C}^{B}(f)x}$ und schließlich ${\displaystyle k_{C'}\circ k_{C}^{-1}:K^{m}\to K^{m}}$ ausführen.

Folglich ist die Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{m},\ x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x}$ gleich der Verknüpfung der Abbildungen ${\displaystyle k_{B}\circ k_{B'}^{-1}}$, ${\displaystyle x\mapsto M_{C}^{B}(f)x}$ und ${\displaystyle k_{C'}\circ k_{C}^{-1}}$. Wir haben nun gesehen, dass die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto M_{C}^{B}(f)x}$ in die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x}$ überführt werden kann. Ursprünglich wollten wir aber die Matrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)}$ in die Matrix ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ überführen. Wie kommen wir von der Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{m},\ x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x}$ wieder zu der Matrix ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)\in K^{m\times n}}$?

Die Matrix ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ sieht kompliziert aus. Deshalb überlegen wir uns, wie wir diese Frage für eine allgemeine Matrix ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ beantworten können. Wir betrachten die zu ${\displaystyle A}$ zugehörige lineare Abbildung ${\displaystyle L_{A}:K^{n}\to K^{m},\ x\mapsto Ax}$. Die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung ${\displaystyle L_{A}}$ bezüglich den Standardbasen des ${\displaystyle K^{n}}$ und ${\displaystyle K^{m}}$ ist wieder ${\displaystyle A}$. Setzen wir nun die Matrix ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ für ${\displaystyle A}$ ein. Die Darstellungsmatrix der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x}$ bezüglich den Standardbasen ist genau ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$.

Wie wir schon gesehen haben, ist die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x}$ gleich der Verknüpfung der Abbildungen ${\displaystyle k_{B}\circ k_{B'}^{-1}}$, ${\displaystyle x\mapsto M_{C}^{B}(f)x}$ und ${\displaystyle k_{C'}\circ k_{C}^{-1}}$. Also stimmt die Darstellungsmatrix der Verknüpfung von ${\displaystyle k_{B}\circ k_{B'}^{-1}}$, ${\displaystyle x\mapsto M_{C}^{B}(f)x}$ und ${\displaystyle k_{C'}\circ k_{C}^{-1}}$ bzgl. der Standardbasen mit ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ überein.

Wir können die Darstellungsmatrix der Verknüpfung aber auch anders ermitteln. Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir gesehen, dass Verknüpfungen von Abbildungen genau der Multiplikation der jeweiligen Darstellungsmatrizen entsprechen. Deshalb schreiben wir die Darstellungsmatrizen der verknüpften Abbildungen einzeln auf und multiplizieren sie dann.

• Wie wir für ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ schon gesehen haben, ist die Darstellungsmatrix von ${\displaystyle x\mapsto M_{C}^{B}(f)x}$ bezüglich der Standardbasen von ${\displaystyle K^{n}}$ und ${\displaystyle K^{m}}$ wieder ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)}$.
• Die Darstellungsmatrix von ${\displaystyle k_{C'}\circ k_{C}^{-1}}$ haben wir bereits oben hergeleitet, sie ist ${\displaystyle M_{C'}^{C}(\operatorname {id} )}$. Das ist genau die Basiswechselmatrix ${\displaystyle T_{C'}^{C}}$.
• Genauso ist die Darstellungsmatrix von ${\displaystyle k_{B}\circ k_{B'}^{-1}}$ gegeben durch die Basiswechselmatrix ${\displaystyle T_{B}^{B'}=M_{B}^{B'}(\operatorname {id} )}$.

Multiplizieren wir diese drei Matrizen, erhalten wir die Matrix ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$. Also gilt

Das heißt, dass sich ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)}$ aus ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)}$ durch Linksmultiplikation mit ${\displaystyle T_{C'}^{C}}$ und Rechtsmultiplikation mit ${\displaystyle T_{B}^{B'}}$ berechnen lässt.

Wir wissen nun, wie wir Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung zu verschiedenen Basen ineinander überführen können. Betrachten wir noch einmal das obige Beispiel. Wir haben die lineare Abbildung

und die geordneten Basen ${\displaystyle B=(e_{1},e_{2})}$, ${\displaystyle C=((1,1)^{T},(1,0)^{T})}$ und ${\displaystyle C'=((1,2)^{T},(1,0)^{T})}$. Die Matrix ${\displaystyle M_{C}^{B}(f)}$ haben wir bereits berechnet:

Wir wollen ${\displaystyle M_{C'}^{B}(f)}$ durch Matrizenmultiplikation bestimmen, also durch ${\displaystyle M_{C'}^{B}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B}}$. Wir müssen ${\displaystyle T_{B}^{B}}$ und ${\displaystyle T_{C'}^{C}}$ bestimmen. Es gilt ${\displaystyle T_{B}^{B}=I_{2}}$, denn die Basis ${\displaystyle B}$ ändert sich nicht. Nun zur Berechnung der Basiswechselmatrix ${\displaystyle T_{C'}^{C}}$: Wir wissen ${\displaystyle T_{C'}^{C}=M_{C'}^{C}(\operatorname {id} )}$. Um diese Matrix zu bestimmen, müssen wir die Basisvektoren von ${\displaystyle C}$ in der Basis ${\displaystyle C'}$ ausdrücken:

Also ist

Daraus folgt

Überzeuge dich davon, dass dieses Ergebnis mit dem von oben übereinstimmt.

Wir haben die Basen

von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ und die Basen

von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ gegeben. Sei ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ eine Abbildung mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$:

Wir wollen die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle f}$ bzgl. den Basen ${\displaystyle B'}$ und ${\displaystyle C'}$ bestimmen. Das machen wir mit Matrizenmultiplikation ${\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}}$. Dafür müssen wir zunächst die Basiswechselmatrizen ${\displaystyle T_{B}^{B'}}$ und ${\displaystyle T_{C'}^{C}}$ berechnen.