Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Abbildungen

Eine Abbildung (oder Funktion) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Definitionsmenge (auch Definitionsbereich) genau ein Element einer Wertemenge (auch Zielmenge oder Bildbereich) zuweist. Im normalen Sprachgebrauch würde man eine Abbildung auch eine Zuordnung nennen, denn es werden den Elementen der Definitionsmenge jeweils ein Element der Wertemenge zugeordnet.

Man schreibt:

• ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ (bedeutet: ${\displaystyle f\,}$ ist eine Funktion, die Definitionsmenge von ${\displaystyle f\,}$ ist ${\displaystyle X\,}$ und die Wertemenge von ${\displaystyle f\,}$ ist ${\displaystyle Y\,}$)
• ${\displaystyle f\colon x\mapsto y}$ oder ${\displaystyle f(x)=y\,}$ (bedeutet: Die Funktion ${\displaystyle f\,}$ bildet ${\displaystyle x\,}$ auf ${\displaystyle y\,}$ ab).

Ein Element ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$ heißt hierbei Bild unter ${\displaystyle f\,}$. Die Menge derjenigen ${\displaystyle x\in X}$, die auf ${\displaystyle y\,}$ abgebildet werden, heißt das Urbild von ${\displaystyle y\,}$.

Wenn ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ gilt, definiert man für eine Untermenge ${\displaystyle Z\subseteq X}$ ${\displaystyle f(Z):=\{y\in Y\ |\ \exists \ z\in Z:f(z)=y\}}$

Sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Abbildung. Dann nennt man ${\displaystyle f}$ :

• injektiv, falls für ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ gilt, dass ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\ }$ immer ${\displaystyle x_{1}=x_{2}\,}$ impliziert. Äquivalent dazu ist ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}$.
• surjektiv, falls es zu jedem ${\displaystyle y\in Y}$ mindestens ein ${\displaystyle x\in X}$ gibt, für das ${\displaystyle f(x)=y\,}$ gilt.
• bijektiv, falls ${\displaystyle f\,}$ sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

Anschaulicher formuliert bedeutet dies, dass jedes ${\displaystyle y\in Y}$

• für injektives ${\displaystyle f\,}$ höchstens ein Element
• für surjektives ${\displaystyle f\,}$ mindestens ein Element
• für bijektive Abbildungen genau ein Element

in seinem Urbild besitzt.

Haben zwei Abbildungen ${\displaystyle f\colon A\to B}$ und ${\displaystyle g\colon A'\to B}$ mit ${\displaystyle A'\subset A}$ dieselbe Funktionsvorschrift, ist also ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in A'}$, so nennt man ${\displaystyle g\,}$ die Restriktion (oder Einschränkung) von ${\displaystyle f\,}$ auf ${\displaystyle A'\,}$ und schreibt ${\displaystyle g=f|_{A'}\,}$. Andererseits ist ${\displaystyle f\,}$ eine Fortsetzung von ${\displaystyle g\,}$ auf ${\displaystyle A\,}$.

Wenn ${\displaystyle f:A\to B}$ eine Funktion ist, definiert man ${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)}$ wobei für ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle f^{-1}(B')=\left\{a\in A\ |\ \exists \ b'\in B',f(a)=b'\right\}}$. Dies bezeichnet man als den Urbildbereich von ${\displaystyle B\,}$. Wenn ${\displaystyle B'=\ \{b'\}}$ gilt, ${\displaystyle B\,}$ also nur aus einem Element besteht, schreibt man statt ${\displaystyle f^{-1}\ (\{b'\})}$ auch ${\displaystyle f^{-1}(b')\,}$. Hierbei muss man beachten, dass ${\displaystyle f^{-1}\,}$ im allgemeinen eine Menge erzeugt, die auch (wenn die Funktion nicht surjektiv ist) leer sein kann. Nur wenn ${\displaystyle f\,}$ bijektiv ist, ist ${\displaystyle f^{-1}\,}$ auch eine bijektive Funktion ${\displaystyle f^{-1}:B\to A}$.

Beispiele

• Die Identität ${\displaystyle id_{X}\colon X\to X,x\mapsto x}$ ist eine bijektive Abbildung.
• Die Funktion ${\displaystyle f_{0}:x\mapsto x+1}$ ist von ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \mathrm {\ und\ } \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine bijektive Abbildung. ${\displaystyle f_{0}|_{\mathbb {N} }}$ ist dagegen nur injektiv.
• ${\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto 2x}$ ist injektiv, jedoch nicht surjektiv, da etwa ${\displaystyle 1=2x\,}$ in den ganzen Zahlen keine Lösung besitzt, also kein Urbild zu ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} }$ existiert.
• ${\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {N} \to \{0,1\},x\mapsto {\begin{cases}0&\mathrm {falls\ x\ gerade} \\1&\mathrm {falls\ x\ ungerade} \end{cases}}}$ ist surjektiv, jedoch nicht injektiv, denn ${\displaystyle f_{2}(2)=f_{2}(4)=0}$.
• ${\displaystyle f_{3}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$ ist weder injektiv, denn ${\displaystyle f_{3}(1)=f_{3}(-1)=1}$, noch surjektiv, denn zu ${\displaystyle -1\in \mathbb {R} }$ kein reelles ${\displaystyle x\,}$ existiert, so dass ${\displaystyle f_{3}(x)=-1\,}$.

Eine bijektive Selbstabbildung einer endlichen Menge bezeichnet man als Permutation von A.

Zwei Abbildungen ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und ${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$ heißen gleich, wenn ${\displaystyle X=X'\,}$, ${\displaystyle Y=Y'\,}$ und ${\displaystyle f(x)=f^{\prime }(x)\ }$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ gilt.