Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Definition

Eine Gleichung der Form

${\displaystyle a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+\ldots +a_{n}\cdot x_{n}=b}$

heißt lineare Gleichung mit ${\displaystyle n}$ Unbekannten ${\displaystyle x_{i}(i=1,2,3,\ldots ,n)}$. Linear ist die Gleichung, weil die ${\displaystyle x_{i}}$ nur linear (d.h. in der ersten Potenz) vorkommen. Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ und ${\displaystyle b}$ sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen.

Oft führt die mathematische Lösung eines Problems auf mehrere derartiger Gleichungen. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

Man kann

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+3\cdot x_{3}=1}$
als parameterfreie Darstellung einer Ebene im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ lesen. Ebenso sind

${\displaystyle 2\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}+3\cdot x_{3}=4}$ und

${\displaystyle 4\cdot x_{1}+6\cdot x_{2}+3\cdot x_{3}=2}$

zwei weitere Ebenen. Drei Ebenen können sich in einem (gemeinsamen) Punkt ${\displaystyle S}$ schneiden. Da dieser Punkt auf allen drei Ebenen liegt, müssen seine Koordinaten alle drei Gleichungen simultan erfüllen.

Im Allgemeinen sind nun mehrere (lineare) Gleichungen (etwa ${\displaystyle m}$ der Anzahl nach) aufgestellt worden, die jeweils ${\displaystyle n}$ Unbekannte ${\displaystyle x_{i}}$ enthalten. Ein solches Gleichungssystem aus ${\displaystyle m}$ linearen Gleichungen mit jeweils ${\displaystyle n}$ Unbekannten nennt man ein lineares Gleichungsystem, kurz LGS.

Das Gleichungssystem unseres Beispiels mit ${\displaystyle m=n=3}$ lässt sich nun wie folgt darstellen:

${\displaystyle {\begin{matrix}\ \ x_{1}&+&\ \ x_{2}&+&3\cdot x_{3}&=&1\\2\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&=&4\\4\cdot x_{1}&+&6\cdot x_{2}&+&3\cdot x_{3}&=&2\\\end{matrix}}}$

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit ${\displaystyle m}$ Gleichungen und ${\displaystyle n}$ Unbekannten wie folgt definieren:

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle a_{ij}\in K}$ für ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ und ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$. Dann nennt man

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&\ldots &+&a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&\ldots &+&a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &&\vdots &&&&\vdots &&\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&\ldots &+&a_{mn}x_{n}&=&0\\\end{matrix}}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem in den Variablen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Ein Tupel ${\displaystyle (\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}}$ heißt Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0}$ ist für alle ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$.

Wenn ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{m})\in K^{m}}$ beliebig ist, so heißt

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&\ldots &+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&\ldots &+&a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&&&\vdots &&\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&\ldots &+&a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${\displaystyle (\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$.

Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung ${\displaystyle 0=(0,\ldots ,0)}$. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem braucht nicht notwendigerweise eine Lösung zu haben.