Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Linearkombinationen und Unterräume

Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$ aus einem Vektorraum ${\displaystyle V}$, wobei ${\displaystyle I}$ eine beliebige Menge ist. Wir wissen nach Definition können wir jeden dieser Vektoren mit einem Skalar multiplizieren und dann alle summieren und haben immer noch einen Vektor ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle V}$, also ist ${\displaystyle u=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot v_{i}}$ für ${\displaystyle \lambda _{i}\in K}$. Wir für ein solches ${\displaystyle u\in V}$ sagen wir mit ${\displaystyle u}$ ist eine Linearkombination der Vektoren ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$, also ist ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$ eine Linearkombination von ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}0,5\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}}$, also ist ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$ eine Linearkombination von ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0,5\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}0,5\\0\end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}$, da es kein ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ gibt, die diese Gleichung erfüllen, ist ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$ keine Linearkombination von ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0,5\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}$.

Haben wir nun Vektoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V}$ so wird die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren das Erzeugnis/der Spann genannt. In Symbolsprache: ${\displaystyle <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}$ ist das Erzeugnis und ${\displaystyle span(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ der Spann.

Satz: ${\displaystyle <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}$ ist ein Untervektorraum (für den Spann geht es genauso).

1. ${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}0\cdot v_{i}\in <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}$

2. Seien ${\displaystyle u,v\in <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}$ und ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ so ist trivialerweise : ${\displaystyle \lambda \cdot u+\mu \cdot v\in V}$.

Denn eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.

Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$. Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq V}$ heißt Untervektorraum, wenn sie mit den von ${\displaystyle V}$ induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

• ${\displaystyle 0\in U}$ und
• für alle ${\displaystyle u,v\in U}$ auch ${\displaystyle u+v\in U}$ und
• für alle ${\displaystyle \lambda \in K}$ und alle ${\displaystyle u\in U}$ auch ${\displaystyle \lambda \cdot u\in U}$

gilt. Wobei man die Letzteren Beiden auch zusammenfassen kann mit:

• für alle ${\displaystyle u,v\in U,\lambda ,\mu \in K}$ gilt : ${\displaystyle \lambda \cdot u+\mu \cdot v\in U}$

Sei ${\displaystyle V=K^{n}}$ so ist jeder ${\displaystyle K_{i}^{n}}$ mit ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle x_{i}=0}$ ein Untervektorraum.

Sei ${\displaystyle V=R^{3}}$ ein Vektorraum. So ist eine Ebene ${\displaystyle E}$ die Menge alle Vektoren der Form ${\displaystyle v=\lambda \cdot w+\mu \cdot u}$ für zwei eindeutige Vektoren ${\displaystyle u,w\in V}$ und für alle ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$.

Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form ${\displaystyle v=\lambda \cdot w}$ für ein eindeutigen Vektor ${\displaystyle u\in V}$ und für alle ${\displaystyle \lambda \in K}$.

Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von ${\displaystyle V}$ sind und die Gerade ein Untervektorraum der Ebene ist.