MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Klasse 10

1. ${\displaystyle {3^{-5}}\cdot {3^{6}}}$
2. ${\displaystyle {b^{-2t}}\cdot {b^{-5t}}}$

1. ${\displaystyle {\frac {b^{-3}}{b^{-5}}}}$
2. ${\displaystyle {\frac {w^{-b}}{w^{-12}}}}$

Warum ist${\displaystyle \textstyle \ s^{-1}={\frac {1}{s}}}$?

Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf!

1. ${\displaystyle \ \ {\frac {3}{r^{2r-4}}}=\quad }$
2. ${\displaystyle \ \ {\frac {11\ b^{4-5w}}{b^{3w}}}=\quad }$
3. ${\displaystyle \ \ 5\cdot {\frac {1}{5^{z}}}=\quad }$

1. ${\displaystyle {\left(m^{50 \over 3}\right)}^{9 \over 10}}$
2. ${\displaystyle {\sqrt[{15}]{u^{-6}}}^{\ 5}}$
3. ${\displaystyle \left(\left(m^{5 \over 4}\right)^{6}\cdot {\sqrt[{11}]{m^{6}}}\cdot m^{-8}\right)^{33}}$
4. ${\displaystyle {\dfrac {\sqrt[{4}]{{\Bigl (}k^{7 \over 3}{\Bigr )}^{12}}}{k^{4} \over k^{-3}}}}$

Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!


1. ${\displaystyle \ c+5347=2744\qquad }$
2. ${\displaystyle \ {\tfrac {k}{7}}=13\qquad }$
3. ${\displaystyle \ 6f=168\qquad }$


4. ${\displaystyle \ x-592=-5426\qquad }$
5. ${\displaystyle \ 58m=986\qquad }$
6. ${\displaystyle \ 51w=900\qquad }$

Formen Sie auf die unbekannte Variable um!


1. ${\displaystyle 7(3z+2)=9z-10}$

${\displaystyle {\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-{\frac {t-s}{w-z}}=2,2}$
Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, k_B, c_L um!

Wie viel ist die gesuchte Variable in den folgenden Aufgaben?

1. ${\displaystyle e^{\lambda }={\frac {1}{2}}\quad }$
2. ${\displaystyle \ln m=-3\quad }$
3. ${\displaystyle {\text{log}}_{3}v=0\quad }$
4. ${\displaystyle 7^{\alpha }=3^{3}}$
5. ${\displaystyle 3^{8}=e^{4\lambda }}$

1. Zerlegen Sie folgenden Ausdruck unter
   Verwendung der Logarithmusregeln in den
   möglichst einfachsten Logarithmanden.
   ${\displaystyle \ln \left(e^{e}{\frac {b^{c}}{b+m}}\right)^{\sqrt {2}}}$
2. Fassen Sie folgenden Ausdruck unter
   Verwendung der Logarithmusregeln in
   einen Logarithmanden.
   ${\displaystyle 4-d\log _{v}6+4\log _{v}e}$

Die Größe vier Geschwister stellt eine geometrische Folge dar.
Vom kleinsten aus heißen sie Andi, Lisa, Tom und Aria.
Aria ist ${\displaystyle 182\ cm}$ groß, Tom 5% kleiner.

1. Wie viel Prozent größer als Tom ist Aria?
2. Wie viel Prozent kleiner als Tom ist Lisa?
3. Wie groß ist Andi?

In den folgenden Diagrammen bestimmen Sie den
Grad der dargestellten Polynomfunktion, die Anzahl
ihrer Lösungen, ihr Monotonieverhalten in den
verschiedenen Intervallen, das Vorzeichen der
Koeffizienten der Potenz mit dem höchsten Grad und
wenn möglich den Wert des y-Achsenabschnitts!

A B C

D E F

G H I

Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion g(x) (gestrichelt),
drei quadratische Funktionen c(x), d(x) und e(x)
(zwei Kurven c und e nach oben und eine Kurve d nach
unten) und zwei lineare Funktionen h(x) und f(x)
(Gerade f nach unten rechts und Gerade h nach
oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab:



1. Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion.
2. Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion.
3. Die Lösungen der Gleischungssysteme,
   die aus folgenden Funktionen bestehen:

i) h und f ${\displaystyle \quad }$ii) g und d ${\displaystyle \quad }$iii) c und f

iv)e und h ${\displaystyle \quad }$v) g und f ${\displaystyle \quad }$vi) c und d

Gegeben sind die Funktionen
${\displaystyle g(x)={\frac {14-3x}{7}}}$${\displaystyle \quad f(x)={\sqrt {5}}-\pi x\quad }$${\displaystyle q(x)=-0{,}0625x^{2}+1}$
${\displaystyle p(x)=5x^{2}-2{,}5x\quad \ h(x)=-3x^{2}+3x-2}$

1. Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion!
2. Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab!
3. Finden Sie, ob der Punkt P:(1|${\displaystyle {\sqrt {5}}-\pi }$)

zu mancher der Funktionen gehört!

4. Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab!
5. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme

i) g und f, ii) h und q, iii) p und g

A) lineare Funktion, B) Polynomfunktion 2. Grades
C) Wurzelfunktion, D) Polynomfunktion 3. Grades
E) Polynomfunktion 4. Grades, F) Sinusfunktion
G) Kosinusfunktion, H) quadratische Funktion,
K) (natürlichen) Logarithmusfunktion, L) ${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{x}}}$
M) Exponentialfunktion, N) Umkehrfunktionenpaar

Wählen Sie das jeweils richtige Diagramm und
beantworten Sie die entsprechende Frage!

1. Wie viel ist der y-Achsenabschnitt bei jedem Diagramm?
2. Wie viel ist die Steigung der linearen Funktionen?
3. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\ }$ist die quadratische Funktion.
   • Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
4. ${\displaystyle ae^{b\ x}\ }$ist die exponentielle Funktion.
5. ${\displaystyle {\frac {a}{x}}\ }$ist die indirekte Proportionalität.
   Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
6. In welchen Intervallen sind die quadratischen und die linearen
   Funktionen, die Sinusfunktionen bzw die indirekte
   Proportionalität steigend bzw. fallend?
7. Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
   ihre Umkehrfunktion?
8. Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
   ihre auf der y-Achse gespeigelte Funktion? Was gilt
   in diesem Fall für f(x) und ihre Spiegelfunktion f^s(x)?

Finden Sie die Umkehrfunktion:

${\displaystyle \ n(y)=\tan({{\sqrt[{5}]{y}}-5\ })\ +\pi }$

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten
Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an!



Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn
e=5 cm und m=1 dm sind?

Der Sinus eines Winkels ist ${\displaystyle \textstyle {\frac {77}{85}}}$.
1. Wie viel ist der Kosinus?
2. Wie groß ist der Winkel?
3. Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen
   Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels
   mit Sinus ${\displaystyle \textstyle {\frac {77}{85}}\ }$ 11 cm ist?
4. Schreiben Sie eine Formel für den Winkel ${\displaystyle \phi }$ in Bezug auf die Seiten m und e auf! Wie groß ist der Winkel ${\displaystyle \phi }$ im Bild, wenn m=37 cm und e=300 mm sind?
5. Die Steigung eines Winkels ist 20%. Wie groß ist der Winkel?

Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen
Funktionen in einem allgemeinen Dreieck! ${\displaystyle \quad {\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}}$

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 119 vm,
die größere 1,2 m. Wie viel genau ist der Tangens, der Sinus und der
Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie
viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie
groß der andere Winkel?

Mit Hilfe des Einheitskreises finden sie zumindest vier Winkel, deren

i) Sinus ${\displaystyle -{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$ ist.${\displaystyle \quad }$ii) Kosinus ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$ ist.

1. Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
   a) ${\displaystyle \ 7\pi \ rad}$, B)${\displaystyle \ {\frac {7\pi }{6}}\ rad}$, C)${\displaystyle \ 1{,}5\ rad}$, D)${\displaystyle \ {\frac {7}{9\pi }}\ rad}$, E)${\displaystyle \ 420\ rad}$
2. Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
   A)${\displaystyle \ 15^{\circ }}$, B)${\displaystyle \ 0{,}8^{\circ }}$, C)${\displaystyle \ 7\pi ^{\circ }}$, D)${\displaystyle \ {\frac {430}{7\pi }}^{\circ }}$, E)${\displaystyle \ 560^{\circ }}$
3. Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
   Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
   A)${\displaystyle \ 90^{\circ }}$, B)${\displaystyle \ 180^{\circ }}$, C)${\displaystyle \ 1\ rad}$, D)${\displaystyle \ 7{,}6\ rad}$, E)${\displaystyle \ 730^{\circ }}$

In einer Urne gibt es 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig
jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass:


1. alle 3 Kugel rot sind?
2. alle 3 Kugel schwarz sind?
3. die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
4. wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
5. wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
6. das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?
7. alle drei schwarz sind, wenn wir doch zurücklegen?

1. ↑ mit der immer steigenden Repräsentation von rechten Parteien, die nicht gerade selten die Erderwärmung verleugnen
2. ↑ mit dem ständig steigenden Konsum sogar in entwickelten Ländern mit einem hohen Lebensniveau
3. ↑ das ist jetzt nur eine Vermutung