In der Mathematik, spezifisch in der Lehre der elliptischen Funktionen, ist der äquianharmonische Fall ein Spezialfall der Weierstraßschen ℘-Funktion, den man mit den Weierstrass-Invarianten ${\displaystyle g_{2}=0}$ und ${\displaystyle g_{3}=1}$ erhält.

Im äquianharmonischen Fall ist die kleinere halbe Periode ${\displaystyle \omega _{2}}$ reell und gleich

${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{3}(1/3)}{4\pi }}}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion ist. Die größere halbe Periode ist

${\displaystyle \omega _{1}={\tfrac {1}{2}}(-1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} )\omega _{2}.}$

Damit ist das Periodengitter ein reelles Vielfache des Gitters der Eisenstein-Zahlen.

Die Konstanten ${\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$ sind gegeben durch:

${\displaystyle e_{1}=4^{-1/3}e^{(2/3)\pi \mathrm {i} },\qquad e_{2}=4^{-1/3},\qquad e_{3}=4^{-1/3}e^{-(2/3)\pi \mathrm {i} }.}$

Die Fälle ${\displaystyle g_{2}=0,g_{3}=a}$ können durch eine Skalierungs-Transformation bearbeitet werden.

Literatur

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Equianharmonic Case (g_2=0, g_3=1)." §18.13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 652-653, 1972.

Weblinks

• Wolfram MathWorld: Equianharmonic Case