Kubischer Rest-Charakter

Im Ring der Eisensteinschen Zahlen gilt ein Satz, der analog zum kleinen fermatschen Satz der elementaren Zahlentheorie ist:

Sind ${\displaystyle \alpha ,\rho \in \mathbb {Z} [\omega ]}$ und ${\displaystyle \rho }$ ein Primelement, das ${\displaystyle \alpha }$ nicht teilt, dann gilt:

${\displaystyle \alpha ^{N(\rho )-1}\equiv 1{\pmod {\rho }}}$

Wenn nun für die Norm von ${\displaystyle \rho }$ gilt, dass ${\displaystyle N(\rho )\neq 3}$ und also ${\displaystyle N(\rho )\equiv 1{\pmod {3}}}$ ist, dann ist ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N(\rho )-1}{3}}}$ eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten und es gilt:

${\displaystyle \alpha ^{\frac {N(\rho )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\pmod {\rho }}}$ für eine eindeutig bestimmte 3. Einheitswurzel ${\displaystyle \omega ^{k}}$

Man nennt diese Einheitswurzel den kubischen Rest-Charakter von ${\displaystyle \alpha }$ modulo ${\displaystyle \rho }$ und schreibt dafür:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\rho }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\rho )-1}{3}}{\pmod {\rho }}}$

Die Bezeichnung als Charakter ergibt sich daraus, dass die Abbildung bei festem Primelement ${\displaystyle \rho }$ einen unitären Charakter auf der multiplikativen Gruppe des endlichen Körpers ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]/(\rho )}$ bestimmt.

Die Kongruenz ${\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\pmod {\rho }},\;(\alpha \not \equiv 0{\pmod {\rho }})}$ ist in ${\displaystyle Z[\omega ]}$ genau dann lösbar, wenn ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\rho }}\right)_{3}=1}$ gilt. Ist die Kongruenz lösbar und ${\displaystyle \alpha \not \equiv 0{\pmod {\rho }}}$, dann nennt man ${\displaystyle \alpha }$ einen kubischen Rest modulo ${\displaystyle \rho }$; ist die Kongruenz unlösbar, einen kubischen Nichtrest modulo ${\displaystyle \rho }$. Ebenso werden die Begriffe kubischer Rest und Nichtrest allgemeiner erklärt, wenn ${\displaystyle \rho }$ zwar teilerfremd zu ${\displaystyle \alpha }$, aber kein Primelement ist.

Der kubische Rest-Charakter hat für Primelemente ${\displaystyle \rho }$, die nicht zu ${\displaystyle 1-\omega }$ assoziiert sind, formale Eigenschaften, die den Eigenschaften des Legendre-Symbols ähneln:

1. ${\displaystyle \left({\frac {\alpha \beta }{\rho }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\rho }}\right)_{3}\left({\frac {\beta }{\rho }}\right)_{3}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {\alpha }{\rho }}\right)_{3}}}=\left({\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\rho }}}\right)_{3}}$, wobei der Überstrich für die komplexe Konjugation steht.
3. Sind ${\displaystyle \rho }$ und ${\displaystyle \theta }$ assoziierte Primelemente, dann gilt ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\rho }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}}$.
4. Ist ${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\pmod {\rho }}}$, dann gilt ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\rho }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\rho }}\right)_{3}}$.

Der kubische Rest-Charakter kann im „Nenner“ multiplikativ auf zusammengesetzte Zahlen fortgesetzt werden, die teilerfremd zu 3 sind. Dabei wird dann ergänzend definiert, dass das so definierte kubische Restsymbol ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}}$ den Wert 0 hat, falls die Zahlen ${\displaystyle \alpha ,\lambda }$ im Ring der Eisenstein-Zahlen nicht zueinander teilerfremd sind, aber ${\displaystyle \lambda }$ teilerfremd zu 3 ist. Diese Verallgemeinerung ist analog zu der Verallgemeinerung des Legendre-Symbols zum Jacobi-Symbol bis auf die Tatsache, dass für den Fall, dass ${\displaystyle \lambda \equiv 0{\pmod {1-\omega }}}$ gilt oder gleichwertig, dass die Norm von ${\displaystyle \lambda }$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ von 3 geteilt wird, kein Wert für das Symbol definiert wird. Manchmal wird im zuletzt genannten Fall das Symbol 0 gesetzt. Diese Variante ändert an den folgenden Aussagen nichts.

Ähnlich wie beim Jacobi-Symbol gelten für einen „Nenner“ ${\displaystyle \lambda }$ des kubischen Restsymbols, der kein Primelement ist, folgende Aussagen:

• Durch die multiplikative Fortsetzung gilt nach Definition:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\nu _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\nu _{2}}\cdots \;,\,}$ es eine Zerlegung ${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\nu _{1}}\pi _{2}^{\nu _{2}}\pi _{3}^{\nu _{3}}\dots }$ von ${\displaystyle \lambda }$ in paarweise verschiedene Primelemente ${\displaystyle \pi _{j}}$ hat, von denen keines zu ${\displaystyle 1-\omega }$ assoziiert ist.

• Ist der „Zähler“ ${\displaystyle \alpha }$ ein kubischer Rest modulo ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \lambda \not \equiv 0{\pmod {1-\omega }}}$, dann nimmt das Symbol den Wert 1 an.
• Nimmt das Symbol einen von 1 verschiedenen Wert an, dann ist der Zähler kein kubischer Rest modulo ${\displaystyle \lambda }$ oder ${\displaystyle \lambda }$ nicht teilerfremd zu 3.
• Das Symbol kann den Wert 1 annehmen, auch wenn der Zähler ein kubischer Nichtrest modulo ${\displaystyle \lambda }$ ist.

Primäre Zahlen

Zur Formulierung eines kubischen Reziprozitätsgesetzes auf dem Ring der Eisenstein-Zahlen müssen aus den Assoziierten einer Eisensteinzahl bestimmte Vertreter ausgewählt werden. Eisenstein nennt eine Zahl ${\displaystyle \lambda }$ primär, wenn sie die Kongruenz ${\displaystyle \lambda \equiv 2{\pmod {3}}}$ erfüllt. Man kann leicht nachweisen, dass für Zahlen, deren Norm (in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) teilerfremd zu 3 ist, genau ein zu ihnen assoziiertes Element primär im Sinne dieser Definition ist. Ein Nachteil der Definition ist, dass das Produkt zweier primärer Zahlen immer die Gegenzahl einer primären Zahl ist.

Man definiert daher heute meistens:

• Eine Eisenstein-Zahl ${\displaystyle \lambda }$ ist primär, wenn sie zu 3 teilerfremd ist und modulo ${\displaystyle (1-\omega )^{2}=-3\omega }$ zu einer gewöhnlichen ganzen Zahl kongruent ist.

Diese Definition ist gleichbedeutend damit, dass die Kongruenz ${\displaystyle \lambda \equiv \pm 1{\pmod {3}}}$ im Ring der Eisensteinzahlen gilt. Es gilt dann:

1. Falls die Norm von ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} [\omega ]^{*}}$ teilerfremd zu 3 ist, dann ist genau eine der Zahlen ${\displaystyle \lambda ,\omega \cdot \lambda ,\omega ^{2}\cdot \lambda }$ primär.
2. Das Produkt von zwei primären Zahlen ist primär.
3. Mit jeder Zahl ist auch die zu ihr konjugiert komplexe Zahl primär.
4. Eine im modernen Sinn primäre Zahl ${\displaystyle \lambda }$ ist entweder selbst primär im Sinn von Eisenstein oder ${\displaystyle -\lambda }$ ist es.
5. Unter den Assoziierten einer Zahl, die teilerfremd zu 3 ist, sind stets genau zwei primäre Zahlen ${\displaystyle \pm \lambda }$.

Da −1 immer ein kubischer Rest ist, reicht die Eindeutigkeit dieser Definition „bis auf das Vorzeichen“ für die Formulierung des Reziprozitätsgesetzes aus.

Kubisches Reziprozitätsgesetz

Für zwei primäre Zahlen ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ gilt:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{3}}$

Zu diesem kubischen Reziprozitätsgesetz gibt es Ergänzungssätze für die Einheiten und das Primelement ${\displaystyle 1-\omega }$:

Falls ${\displaystyle \lambda =a+b\omega ,(a,b\in \mathbb {Z} )}$ primär ist und ${\displaystyle a=3m+1,b=3n,(m,n\in \mathbb {Z} )}$ gilt, dann gilt auch

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\lambda }}\right)_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;\left({\frac {1-\omega }{\lambda }}\right)_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;\left({\frac {3}{\lambda }}\right)_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}$

Für primäre „Nenner“ ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {3}}}$ kann ${\displaystyle \lambda }$ durch das assoziierte primäre Element ${\displaystyle -\lambda }$ ersetzt werden, ohne dass sich der Wert des Symbols ändert.