Masse und Energie in der speziellen Relativitätstheorie

Die moderne Physik formuliert die Begriffe Masse und Energie mithilfe der Energie-Impuls-Relation der speziellen Relativitätstheorie. Demnach hat jedes abgeschlossene physikalische System (im Folgenden „Körper“ genannt) eine Gesamtenergie ${\displaystyle E}$ und einen Impuls ${\textstyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ sowie eine Masse ${\displaystyle m}$.

Die Größen ${\displaystyle (E/c,\,{\vec {p}})}$ bilden die vier Komponenten des Energie-Impuls-Vierervektors des Körpers. Die Norm dieses Vierervektors ist (bis auf einen konstanten Faktor ${\displaystyle c}$) durch die Masse ${\displaystyle m}$ bestimmt:

${\displaystyle m={\frac {1}{c}}{\sqrt {\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-{\vec {p}}^{2}}}}$

Nach der Energie umgestellt:

${\displaystyle E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+{\vec {p}}^{2}c^{2}}}}$

Energie und Impuls hängen vom gewählten Bezugssystem, also von der Relativgeschwindigkeit zwischen Körper und Beobachter, ab. Für die Energie im Schwerpunktsystem (${\textstyle p=0}$), oft als Ruheenergie ${\textstyle E_{0}}$ bezeichnet, ergibt sich

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

Bewegt sich der Körper relativ zum gewählten Bezugssystem mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}\,}$, so betragen seine Energie und sein Impuls

${\displaystyle E=\gamma \cdot mc^{2}=\gamma \cdot E_{0},\qquad {\vec {p}}=\gamma \cdot m{\vec {v}}\ ,}$

wobei

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$

der Lorentzfaktor ist. Die Energie ${\displaystyle E}$ ist die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie. In der Tat ergibt sich für kleine Geschwindigkeiten ${\displaystyle v\ll c}$ durch Taylor-Entwickung von ${\displaystyle \gamma }$ die Näherung ${\textstyle E_{\mathrm {kin} }=(\gamma -1)\cdot E_{0}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}}$, also die Formel aus der klassischen Physik.

Setzt man ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle p}$ in die Formel für die Norm des Vierervektors ein, so ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\sqrt {\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-{\vec {p}}^{2}}}={\frac {\gamma m}{c}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}=m\,.}$

Die Masse ${\displaystyle m}$ ist also eine Lorentz-Invariante – ihr Wert ist unabhängig von der Wahl des Bezugssystems.

Masse und kinetische Energie

Terminologien

	modern	historisch
Masse	invariant ${\displaystyle m}$	relativistisch ${\textstyle m_{\mathrm {rel} }=\gamma \cdot m_{0}}$
Energie	${\textstyle E=\gamma \cdot E_{0}}$
Äquivalenz	${\textstyle E_{0}=mc^{2}}$	${\textstyle E=m_{\mathrm {rel} }c^{2}}$

Gemäß der Energie-Impuls-Relation ist „Masse“ eine vom Beobachter unabhängige Eigenschaft eines Körpers, die seiner Ruheenergie entspricht. Die kinetische Energie trägt also nicht zu seiner Masse bei. Man spricht von „invarianter Masse“.

Es gibt jedoch eine davon abweichende Terminologie, die der „relativistischen Masse“. Nach dieser Konvention nimmt die „Masse“ eine Körpers mit der Geschwindigkeit zu, ist also vom Bezugssystem abhängig: ${\textstyle m_{\text{rel}}=\gamma \cdot m_{0}}$, wobei ${\textstyle m_{0}}$ die „Ruhemasse“ ist. ${\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}$ ist dann die gesamte Energie einschließlich der kinetischen Energie, d. h. die kinetische Energie trägt zur Masse bei („relativistische Massenzunahme“). Diese Terminologie führt aber zu konzeptionellen Schwierigkeiten (siehe Masse (Physik) → Relativistische Masse und Ruhemasse).

Beide Begrifflichkeiten sind noch parallel in Gebrauch, was häufig zu Verwirrung führt. In modernen einführenden Büchern für das Physik-Studium hat sich die Konvention der Masse als invarianter Größe weitgehend durchgesetzt. Auch die deutsche Wikipedia verwendet diese Terminologie. Das Konzept der „relativistischen Masse“ ist in populärwissenschaftlicher Literatur und in Schulbüchern aber noch präsent.

Masse und Energie in der allgemeinen Relativitätstheorie

Einstein erweiterte 1907 seine Überlegungen auch auf die Gravitation. Das Äquivalenzprinzip, also die Gleichheit von träger und schwerer Masse, führte ihn zur Schlussfolgerung, dass eine Zunahme der Ruheenergie eines Systems auch eine Zunahme der schweren Masse zur Folge hat. Bei der Weiterführung dieses Gedankens im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ergab sich, dass nicht nur die Masse, sondern der Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Gravitationsfeldes anzusehen ist.

Masse und innere Energie

Da auch die innere Energie eines Körpers zu dessen Masse beiträgt, ist seine Masse nicht einfach die Summe der Massen seiner Bestandteile.

• Wenn man einen Körper „von außen“ erwärmt, nimmt seine Masse zu. Die Massen seiner einzelnen Atome ändern sich aber nicht. Wenn sich der Körper hingegen als abgeschlossenes System erwärmt (also ohne Energiezufuhr von außen, z. B. durch eine interne chemische Reaktion), bleibt seine Masse unverändert.
• Wenn ein Körper durch äußere Energiezufuhr in Rotation versetzt wird, nimmt seine Masse zu. Wie im Falle der Wärme handelt es sich dabei um innere kinetische Energie aus der Bewegung seiner Bestandteile im Ruhesystem des Körpers (d. h. relativ zu seinem Schwerpunkt).
• Wenn man zwei entgegengesetzt elektrisch geladene Körper durch eine „von außen“ wirkende Kraft voneinander entfernt, nimmt die Masse des Gesamtsystems „zwei Körper + elektrisches Feld“ zu, nicht aber die Massen der einzelnen Körper.
• Gleiches gilt, wenn man einen Stein im Schwerefeld der Erde anhebt. Es heißt zwar, die potenzielle Energie des Steins würde zunehmen, aber in Wahrheit ist es die potenzielle Energie des Systems „Erde + Stein“.

Umgangssprachlich nennt man dies manchmal „Umwandlung von Masse in Energie“ und umgekehrt, was aber in die Irre führt: Masse wird nicht „umgewandelt“ und ist auch keine besondere Energieform. Sie ist eine Eigenschaft der Energie.

Bei alltäglichen Vorgängen

Der Skalenfaktor zwischen Masse und Energie ${\displaystyle c^{2}\approx 9\cdot 10^{16}\mathrm {{m^{2}}/{s^{2}}} }$ ist sehr groß. Daher treten bei Energieumsätzen im Alltag nur extrem kleine Änderungen der Masse auf:

• Wird ein Kubikmeter Wasser (Masse: 1 t) um 50 °C erhitzt, nimmt seine Masse um 2,3 μg zu.
• Bei der Verbrennung von 1 kg Kohle mit 2,7 kg Sauerstoff wird Energie in Form von Wärme und Strahlung frei. Die Gesamtmasse der abgekühlten Endprodukte CO₂ und Asche ist dann um 0,3 μg geringer als die Masse der Ausgangsprodukte.
• Die Masse einer voll geladenen Antriebsbatterie eines Elektroautos mit einer Kapazität von 100 kWh erhöht sich durch die in ihr gespeicherte elektrische Energie um etwa 4 μg.

Da diese Massenänderungen unmerklich klein sind, werden sie üblicherweise in der Chemie und Technik und in der klassischen Physik ignoriert. Man arbeitet mit der Näherung der Erhaltung der Masse.

In der Kern- und Teilchenphysik

In der Kern- und Teilchenphysik treten spürbare Änderungen der Masse auf:

• Nukleare Bindungsenergie: Die Masse von Atomkernen ist geringer als die Summe der Massen der Protonen und Neutronen, aus denen sie aufgebaut sind. Bei ¹²C beträgt dieser Massendefekt 0,8 %.
• Radioaktivität: Manche Atomkerne sind weniger stark gebunden als andere. Samarium-146 kann sich durch Aussenden eines Helium-4-Kerns in das stabilere Neodym-142 umwandeln (Alphazerfall). Dabei werden 2,5 MeV an kinetischer Energie frei. Die kombinierte Masse ${\textstyle m_{\text{Nd-142}}+m_{\text{He-4}}}$ ist daher um 2,5 MeV/c² (Bruchteil 1.8e^-5) kleiner als ${\textstyle m_{\text{Sm-146}}}$.
• Kernspaltung: Ein Atomkern des Isotops Uran-235 kann in mehrere Bruchstücke zerfallen, deren Massen zusammen ca. 0,1 % kleiner sind als die Masse des ursprüngliche Urankerns und des Neutrons, das die Spaltung ausgelöst hat. Die dabei freigesetzte Energie entspricht dieser Abnahme der Masse und kann u. a. als Explosion (Atombombe) oder Wärmequelle (Kernkraftwerk) in Erscheinung treten. Bei der Hiroshima-Bombe waren es etwa 0,7 g.
• Kernfusion: Die Fusion von Wasserstoff zu Helium ist die hauptsächliche Energiequelle der Sonne. Dabei verringert sich die Masse um ca. 0,8 %. Die Sonne verliert allein durch das von ihr abgestrahlte Licht in jeder Sekunde rund 4 Millionen Tonnen (4e⁹ kg) Masse. Verglichen mit der gesamten Masse der Sonne von rund 2e³⁰ kg ist dieser Effekt jedoch vernachlässigbar. Auch nach mehreren Milliarden Jahren hat die Sonne auf diese Weise weit weniger als ein Promille ihrer Masse verloren.
• Annihilation: Ein Teilchenpaar Elektron–Positron, das zusammen eine Masse von ca. 1.8e^-30 kg besitzt, kann sich in elektromagnetische Strahlung auflösen. Dabei entstehen zwei oder drei masselose Gammaquanten. Der Massendefekt beträgt bei diesem Vorgang also 100 %. Die Summe der in den Gammaquanten enthaltene Energie beträgt 1022 keV. Dies entspricht der Ruheenergie des Systems Elektron-Positron vor der Annihilation.
• Paarbildung: Umgekehrt kann Gammastrahlung mit ${\textstyle E_{\gamma }>1{,}022\ \mathrm {MeV} }$ Elektron-Positron-Paare erzeugen.

Überblick

Der Zusammenhang zwischen Masse, Energie und Lichtgeschwindigkeit wurde bereits ab 1880 von mehreren Autoren im Rahmen von Maxwells Elektrodynamik bedacht. Joseph John Thomson (1881), George Searle (1897), Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902) und Hendrik Lorentz (1904) erschlossen, dass die elektromagnetische Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {em} }}$ dem Körper eine „elektromagnetische Masse“ hinzufügt gemäß der Formel (in moderner Notation)

${\displaystyle m_{\mathrm {em} }={\frac {4}{3}}{\frac {E_{\mathrm {em} }}{c^{2}}}}$.

Zu derselben Formel gelangte Friedrich Hasenöhrl (1904/05) durch Betrachtung der elektromagnetischen Hohlraumstrahlung eines Körpers, wobei er auch die Abhängigkeit der Masse von der Temperatur feststellte. Henri Poincaré (1900) hingegen folgerte aus Betrachtungen zum Reaktionsprinzip, dass elektromagnetische Energie einer „fiktiven“ Masse von

${\displaystyle m_{\text{em}}={\frac {E_{\text{em}}}{c^{2}}}}$

entspricht. Die elektromagnetische Masse wurde auch als „scheinbare“ Masse bezeichnet, da man diese vorerst von der „wahren“, mechanischen Masse Newtons unterschied.

Albert Einstein leitete 1905 aus der von ihm kurz zuvor entwickelten speziellen Relativitätstheorie ab, dass sich die Masse ${\displaystyle m}$ eines Körpers um ${\displaystyle \Delta m=\Delta E/c^{2}}$ ändern muss, wenn der Körper die Energie ${\displaystyle \Delta E}$ aufnimmt oder abgibt. Er gewann dieses Resultat für den Fall, dass es sich beim Energieumsatz ${\displaystyle \Delta E}$ um elektromagnetische Strahlung handelt. Als Erster erkannte er aber die Allgemeingültigkeit: Diese Äquivalenz muss auch für alle anderen möglichen Formen von Energieumsätzen gelten, und darüber hinaus auch für die gesamte Ruheenergie und die gesamte Masse gemäß

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$.

Damit war die Äquivalenz von Masse und Energie in eine umfassende Theorie, die spezielle Relativitätstheorie, eingebettet.

Diese Äquivalenz wurde von Albert Einstein auch „Trägheit der Energie“ genannt.

Es folgte eine Reihe weiterer theoretischer Herleitungen der Aussage, dass unter den verschiedensten Bedingungen eine Änderung der Ruheenergie der Änderung der Masse in der Form ${\displaystyle \Delta E_{0}=\Delta mc^{2}}$ entspricht (s. unten die Zeittafel). Einstein selbst publizierte 18 solcher Herleitungen, die letzte im Jahr 1946. Regelmäßig wurde hervorgehoben, dass damit nicht schon die volle Äquivalenz in der Form ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ bewiesen sei, sondern nur in der Form ${\displaystyle \Delta E_{0}=\Delta mc^{2}}$ oder gleichbedeutend ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}+{\text{const}}}$ mit einem beliebigen konstanten Summanden. Da ein solcher Summand aber immer frei wählbar sei, weil bei der Angabe einer Gesamtenergie der Nullpunkt eine Sache der Konvention sei, könne man ihn (als „weitaus natürlichere“ Wahl (Einstein 1907)) gleich null setzen. In dieser Form wurde die Äquivalenz von Masse und Ruheenergie schon fester Bestandteil der theoretischen Physik, bevor sie durch Messungen überprüft werden konnte.

Experimentell wurde die Äquivalenz der Änderungen von Masse und Energie in der Form ${\displaystyle \Delta E_{0}=\Delta mc^{2}}$ ab 1920 anhand des Massendefekts der Kernmassen zugänglich. Ab den 1930er Jahren wurde diese Äquivalenz quantitativ bei Kernreaktionen bestätigt, bei denen sowohl die Energieumsätze als auch die Differenz der Massen der Reaktionspartner vor und nach der Reaktion messbar waren. Anfänglich lagen die Fehlergrenzen allerdings bei 20 %.

Eine experimentelle Prüfung der Äquivalenz in der Form ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ ist durch Messung der Energieumsätze bei der Erzeugung oder Vernichtung von Teilchen mit ${\displaystyle m>0}$ möglich. Als Erster nahm Fermi 1934 bei der Entstehung der Betastrahlung einen solchen Prozess an. Die neu erzeugten und ausgesandten Elektronen behandelte er mithilfe der quantenmechanischen Dirac-Gleichung, die auf der Energie-Impuls-Beziehung ${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ der speziellen Relativitätstheorie beruht und damit der Erzeugung eines ruhenden Elektrons (${\displaystyle p=0}$) den Energiebedarf ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ zuschreibt. Dies wurde durch Messung der maximalen kinetischen Energie der Elektronen und Vergleich mit der Energiebilanz der Kernumwandlung bestätigt.

Heute ist die Gültigkeit der Äquivalenz von Masse und Energie experimentell mit einer Genauigkeit der Größenordnung 10⁻⁶ verifiziert.

Zeittafel

Nach der 1905 gewonnenen Erkenntnis der allgemeinen Gültigkeit der Äquivalenz von Masse und Energie wurden deren Interpretation und Bedeutung schrittweise weiterentwickelt und vertieft.

• 1905: Einstein leitet aus dem Relativitätsprinzip und der Elektrodynamik ab, dass während der Emission von Strahlung die Masse eines Körpers um ${\displaystyle \Delta E/c^{2}}$ abnimmt, wobei ${\displaystyle \Delta E}$ die abgegebene Energie ist. Einstein folgert, dass „die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig“ sei, also die Masse ein Maß für seinen Energieinhalt.
• 1906: Einstein zeigt mit Hilfe eines simplen Kreisprozesses, dass eine Änderung der Energie ${\displaystyle \Delta E}$ eines Systems eine Änderung seiner Masse um ${\displaystyle \Delta E/c^{2}}$ zur Folge haben muss, damit die Schwerpunktsbewegung gleichförmig bleibt. Auf die Form, in der die Energie vorliegt, kommt es dabei nicht an. Einstein verweist dabei auf Poincaré, der 1900 einen ähnlichen Schluss zog, allerdings auf rein elektromagnetische Energie beschränkt.
• Mai 1907: Einstein erklärt, dass der Ausdruck für die Energie ${\displaystyle \varepsilon }$ eines bewegten Massenpunkts der Masse ${\displaystyle \mu }$ dann die einfachste Form annimmt, wenn für seine Energie im ruhenden Zustand der Ausdruck ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\mu c^{2}}$ (ohne zusätzliche additive Konstante) gewählt wird. In einer Fußnote benutzt er hierfür erstmals den Ausdruck Prinzip der Äquivalenz von Masse und Energie. Zusätzlich verwendet Einstein für ein System bewegter Massenpunkte die Formel ${\displaystyle \mu =E_{0}/c^{2}}$ (wo ${\displaystyle E_{0}}$ die Energie im Schwerpunktsystem ist), um die Massenzunahme zu beschreiben, wenn die kinetische Energie der Massenpunkte erhöht wird.
• Juni 1907: Max Planck bringt thermodynamische Überlegungen und das Prinzip der kleinsten Wirkung ein, und benutzt die Formel ${\displaystyle M=\left(E_{0}+pV\right)/c^{2}}$ (wobei ${\displaystyle p}$ der Druck und ${\displaystyle V}$ das Volumen ist), um den Zusammenhang zwischen Masse, ihrer latenten Energie und thermodynamischer Energie in den Körpern darzustellen. Dem folgend benutzt Johannes Stark im Oktober die Formel ${\displaystyle M_{0}=E_{0}/c^{2}}$ und wendet sie im Zusammenhang mit der Quantenhypothese an.
• Dezember 1907: Einstein leitet die Formel ${\displaystyle M=\mu +E_{0}/c^{2}}$ ab, worin ${\displaystyle \mu }$ die Masse des Körpers vor und ${\displaystyle M}$ die Masse nach der Übertragung der Energie ${\displaystyle E_{0}}$ ist. Er schließt, dass „die träge Masse und die Energie eines physikalischen Systems als gleichartige Dinge auftreten. Eine Masse ${\displaystyle \mu }$ ist in bezug auf Trägheit äquivalent mit einem Energieinhalt von der Größe ${\displaystyle \mu c^{2}}$. […] Weit natürlicher [als zwischen „wahrer“ und „scheinbarer“ Masse zu unterscheiden] erscheint es, jegliche träge Masse als einen Vorrat von Energie aufzufassen.“
• 1909: Gilbert N. Lewis und Richard C. Tolman benutzen zwei Variationen der Formel: ${\displaystyle m=E/c^{2}}$ und ${\displaystyle m_{0}=E_{0}/c^{2}}$, wo ${\displaystyle E}$ die Energie eines bewegten Körpers, ${\displaystyle E_{0}}$ die Ruheenergie, ${\displaystyle m}$ die relativistische Masse, und ${\displaystyle m_{0}}$ die invariante Masse ist. Analoge Ausdrücke werden 1913 auch von Hendrik Antoon Lorentz benutzt, wobei er allerdings die Energie auf der linken Seite anschreibt: ${\displaystyle \varepsilon =Mc^{2}}$ und ${\displaystyle \varepsilon _{0}=mc^{2}}$, wo ${\displaystyle \varepsilon }$ die Energie eines bewegten Massenpunktes, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ die Ruheenergie, ${\displaystyle M}$ die relativistische Masse, und ${\displaystyle m}$ die invariante Masse ist.
• Für eine weitergehende Begründung der Äquivalenzbeziehung wird der Zusammenhang zum Energie-Impuls-Tensor herausgearbeitet. Erstmals wird dies von Max von Laue (1911) durchgeführt. Er beschränkt allerdings seine Untersuchung auf „statische geschlossene Systeme“, in denen sich beispielsweise elektromagnetische Kräfte und mechanische Spannungen das Gleichgewicht halten. Felix Klein verallgemeinert 1918 diesen Beweis, wonach die Beschränkung auf statische Systeme nicht notwendig ist.
• 1932 gelingt John Cockcroft und Ernest Walton die erste direkte experimentelle Demonstration der Gleichung ${\displaystyle \Delta E=\Delta mc^{2}}$ bei der Kernreaktion ${\displaystyle ^{7}\mathrm {Li} {\mathord {+}}\mathrm {p} \rightarrow 2\alpha +17\;\mathrm {MeV} }$. Der Gewinn von ${\displaystyle 17\;\mathrm {MeV} }$ kinetischer Energie entspricht (im Rahmen der Fehlergrenzen von damals 20 %) der Abnahme der Gesamtmasse der Reaktionspartner.
• 1933 wird das wenige Monate zuvor entdeckte Positron, das Antiteilchen zum Elektron, zusammen mit diesem als Paar erzeugt, wofür die Energie ${\displaystyle E=(m_{\text{Elektron}}+m_{\text{Positron}})c^{2}}$ benötigt wird. Bei ihrer gemeinsamen Vernichtung, entdeckt 1934, wird genau diese Energie als Vernichtungsstrahlung wieder ausgesandt. Beide Prozesse werden zunächst nicht als Umwandlung zwischen Energie und Masse interpretiert, sondern als Anregung eines vorher mit negativer Energie im Dirac-See verborgenen Elektrons in die sichtbare Welt positiver Energie, wobei das im Dirac-See entstehende Loch als Positron erscheint.
• 1934 nimmt Enrico Fermi erstmals die Möglichkeit an, massive Teilchen könnten erzeugt werden. Für den Entstehungsprozess, die β-Radioaktivität, setzt er den Energieerhaltungssatz an und für die Energie der Teilchen die relativistische Formel ${\textstyle E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+p^{2}c^{2}}}}$. Für die Entstehung eines ruhenden Teilchen wird also die Energie benötigt. Damit gelingt Fermi die erste quantitativ zutreffende Theorie der β-Strahlung (Fermi-Wechselwirkung) und – nebenbei – die erste Bestätigung der vollen Äquivalenz von Masse und Energie.
• 1935 gibt Einstein eine neue Herleitung von ${\displaystyle \Delta E=\Delta mc^{2}}$ an, allein aus der Impulserhaltung beim Stoß und ohne Bezug auf elektromagnetische Strahlung. Indem er sich darauf beruft, dass bei Energie, vom Konzept des Begriffs her, eine additive Konstante beliebig sei, wählt er sie so, dass ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ gilt.
• 1965 zeigen Roger Penrose, Wolfgang Rindler und Jürgen Ehlers, dass die spezielle Relativitätstheorie eine additive Konstante in einer Gleichung ${\displaystyle E+m'c^{2}=mc^{2}}$ prinzipiell nicht ausschließen kann, wobei ${\displaystyle m'\geq 0}$ für den angenommenen (lorentzinvarianten) Teil der Masse steht, der nicht durch Energieentzug unterschritten werden kann. Allerdings folgern sie aus den experimentellen Beobachtungen zu Teilchenentstehung und ‑vernichtung, dass ${\displaystyle m'=0}$ gilt. Mitchell J. Feigenbaum und David Mermin bestätigen und vertiefen 1988 dieses Resultat.

Einsteins Herleitung

Einstein kam 1905 durch das folgende Gedankenexperiment auf den Zusammenhang von Masse und Energie. Ein ähnliches Gedankenexperiment hatte Poincaré 1900 entwickelt, aber nicht befriedigend klären können.

In einem Bezugssystem ruht ein Körper und hat eine bestimmte Ruheenergie ${\displaystyle E_{\text{vor}}}$, über die wir nichts Näheres zu wissen brauchen. Er sendet zwei gleiche Lichtblitze gleicher Energie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}E_{\text{ph}}}$ in entgegengesetzte Richtungen aus. Dann sind auch die Impulse ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {E_{\text{ph}}}{c}}}$ der Lichtblitze gleich groß, aber entgegengesetzt, sodass der Körper wegen der Erhaltung des Gesamtimpulses in Ruhe bleibt. Wegen der Erhaltung der Energie hat der Körper nun die Energie

${\displaystyle E_{\text{nach}}=E_{\text{vor}}-E_{\text{ph}}}$.

Wir betrachten denselben Vorgang von einem zweiten Bezugssystem aus, das sich relativ zum ersten mit Geschwindigkeit ${\displaystyle -v}$ in der Emissionsrichtung eines der Lichtblitze bewegt. Die Werte aller im zweiten System berechneten Energien werden mit ${\displaystyle E'}$… bezeichnet. Dabei könnte es sein, dass die Energieskalen beider Bezugssysteme verschiedene Nullpunkte haben, die sich um eine Konstante ${\displaystyle C}$ unterscheiden. Da die Energieerhaltung im zweiten Bezugssystem genauso gut wie im ersten gilt (Relativitätsprinzip), folgt

${\displaystyle E'_{\text{nach}}=E'_{\text{vor}}-E'_{\text{ph}}}$.

Da der Körper im ersten System in Ruhe bleibt, bewegt er sich im zweiten System nach der Emission mit gleicher Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ wie davor. Seine Energie ist im zweiten Bezugssystem daher um die kinetische Energie ${\displaystyle E'_{\text{kin}}}$ größer als im ersten. Daher gilt:

${\displaystyle E'_{\text{vor}}=E_{\text{vor}}+E'_{\text{kin, vor}}+\;C}$

${\displaystyle E'_{\text{nach}}=E_{\text{nach}}+E'_{\text{kin, nach}}+\;C}$

Indem man die Seiten dieser zwei Gleichungen paarweise voneinander abzieht, fallen die unbekannten Ruheenergien und die Konstante heraus und man erhält:

${\displaystyle E'_{\text{kin,nach}}-E'_{\text{kin,vor}}=E_{\text{ph}}-E'_{\text{ph}}}$

Der entscheidende Punkt ist nun: Die beiden Lichtblitze, die im Ruhesystem des Körpers entgegengesetzte Richtungen und gleiche Energien haben, sind auch im zweiten Bezugssystem (aufgrund der Wahl der Bewegungsrichtung) entgegensetzt, haben aber verschiedene Energien. Einer zeigt Rotverschiebung, der andere Blauverschiebung. Nach der Lorentztransformation der elektrodynamischen Felder sind ihre Energien ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}E_{\text{ph}}{\tfrac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ bzw. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}E_{\text{ph}}{\tfrac {1+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$, wobei ${\displaystyle \beta ={\tfrac {v}{c}}}$. Zusammen ist ihre Energie dadurch größer als im ersten Bezugssystem:

${\displaystyle E'_{\text{ph}}={\frac {1}{2}}E_{\text{ph}}{\frac {1+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+{\frac {1}{2}}E_{\text{ph}}{\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {E_{\text{ph}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Die beiden Werte für die kinetische Energie vor und nach der Emission sind daher nach obiger Gleichung auch verschieden. Durch die Emission nimmt die kinetische Energie ab um

${\displaystyle E'_{\text{kin, nach}}-E'_{\text{kin, vor}}=-E_{\text{ph}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}-1\right)}$.

Da bei der Emission die Geschwindigkeit des Körpers gleich bleibt, er aber danach eine geringere kinetische Energie hat als davor, muss sich seine Masse verringert haben. Um diese Änderung zu ermitteln, nutzen wir die im Grenzfall ${\displaystyle \beta \ll 1}$ gültige Formel ${\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\equiv {\tfrac {1}{2}}mc^{2}\beta ^{2}}$ und entwickeln die rechte Seite der letzten Gleichung nach Potenzen bis zum Glied ${\displaystyle \beta ^{2}}$. Es ergibt sich ${\displaystyle E'_{\text{kin,nach}}-E'_{\text{kin,vor}}=-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {E_{\text{ph}}}{c^{2}}}v^{2}}$. Also führt die Abgabe der Energie ${\displaystyle E_{\text{ph}}}$ zu einer Verringerung der Masse um ${\displaystyle \Delta m={\tfrac {E_{\text{ph}}}{c^{2}}}}$.

Einstein schließt diese 1905 publizierte Überlegung mit den Worten ab (Symbole modernisiert):

Einstein umgeht das Problem der unbekannten Ruheenergie, indem in seinem Gedankenexperiment diese Größe aus den Gleichungen eliminiert werden kann. Für die Energieabgabe wählt er elektromagnetische Strahlung und leitet daraus die Veränderung der Masse ab. 1905 fügt er ohne Beweis die Aussage an, dass dies für jede Art Energieverlust gelte. Ab 1907/08 schlägt er vor, „da wir über den Nullpunkt […] verfügen können, […] jegliche träge Masse als Vorrat an Energie aufzufassen“, also ${\displaystyle E=mc^{2}}$.

E = mc² und die Atombombe

Ab 1897 hatten Henri Becquerel, Marie und Pierre Curie und Ernest Rutherford die ionisierenden Strahlen erforscht und aus ihrer damals unerklärlich hohen Energie gefolgert, dass die zugrundeliegenden Kernreaktionen millionenfach energiereicher als chemische Reaktionen sind. Als Energiequelle wurde von Rutherford und Frederick Soddy (1903) ein in den Körpern befindliches, enormes Reservoir an latenter Energie vermutet, das auch in normaler Materie vorhanden sein müsse. Rutherford (1904) spekulierte, dass man vielleicht eines Tages den Zerfall radioaktiver Elemente kontrollieren und aus einer geringen Menge Materie eine enorme Energiemenge freisetzen könnte. Mit Einsteins Gleichung ${\displaystyle E_{0}=m\,c^{2}}$ (1905) konnte man diese Energie an den unterschiedlichen Kernmassen ablesen, was in den 1930er Jahren tatsächlich nachgewiesen werden konnte.

Allerdings besagt die Gleichung nicht, wie man die Spaltung schwerer Atomkerne in Gang setzt. Entscheidend war die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann wie auch, dass die dabei freiwerdenden Neutronen eine Kettenreaktion in angereichertem Uran auslösen können. Anders als populärwissenschaftliche Berichte behaupten, spielte daher der Zusammenhang von Ruheenergie und Masse bei der Entwicklung der Atombombe („Manhattan-Projekt“ in den USA ab 1942) keine besondere Rolle. Albert Einstein beeinflusste die Entwicklung der Atombombe weniger durch seine physikalischen Erkenntnisse, sondern allenfalls politisch. Er schrieb einen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er für die Entwicklung der Atombombe in den USA eintrat. Einstein tat dies, da er befürchtete, dass in Deutschland bereits am Bau von Atomwaffen gearbeitet werde.