Der (101,25,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 101×101-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 25 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 101, k = 25, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 101, k = 25, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 101 Blöcken und 101 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 25 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 25 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(101,25,6)-Blockplan. Diese Lösung ist:
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 5 16 19 24 25 31 36 37 52 54 56 58 68 71 78 79 80 81 84 87 88 92 95 97 2 6 17 20 25 26 32 37 38 53 55 57 59 69 72 79 80 81 82 85 88 89 93 96 98 3 7 18 21 26 27 33 38 39 54 56 58 60 70 73 80 81 82 83 86 89 90 94 97 99 4 8 19 22 27 28 34 39 40 55 57 59 61 71 74 81 82 83 84 87 90 91 95 98 100 5 9 20 23 28 29 35 40 41 56 58 60 62 72 75 82 83 84 85 88 91 92 96 99 101 1 6 10 21 24 29 30 36 41 42 57 59 61 63 73 76 83 84 85 86 89 92 93 97 100 2 7 11 22 25 30 31 37 42 43 58 60 62 64 74 77 84 85 86 87 90 93 94 98 101 1 3 8 12 23 26 31 32 38 43 44 59 61 63 65 75 78 85 86 87 88 91 94 95 99 2 4 9 13 24 27 32 33 39 44 45 60 62 64 66 76 79 86 87 88 89 92 95 96 100 3 5 10 14 25 28 33 34 40 45 46 61 63 65 67 77 80 87 88 89 90 93 96 97 101 1 4 6 11 15 26 29 34 35 41 46 47 62 64 66 68 78 81 88 89 90 91 94 97 98 2 5 7 12 16 27 30 35 36 42 47 48 63 65 67 69 79 82 89 90 91 92 95 98 99 3 6 8 13 17 28 31 36 37 43 48 49 64 66 68 70 80 83 90 91 92 93 96 99 100 4 7 9 14 18 29 32 37 38 44 49 50 65 67 69 71 81 84 91 92 93 94 97 100 101 1 5 8 10 15 19 30 33 38 39 45 50 51 66 68 70 72 82 85 92 93 94 95 98 101 1 2 6 9 11 16 20 31 34 39 40 46 51 52 67 69 71 73 83 86 93 94 95 96 99 2 3 7 10 12 17 21 32 35 40 41 47 52 53 68 70 72 74 84 87 94 95 96 97 100 3 4 8 11 13 18 22 33 36 41 42 48 53 54 69 71 73 75 85 88 95 96 97 98 101 1 4 5 9 12 14 19 23 34 37 42 43 49 54 55 70 72 74 76 86 89 96 97 98 99 2 5 6 10 13 15 20 24 35 38 43 44 50 55 56 71 73 75 77 87 90 97 98 99 100 3 6 7 11 14 16 21 25 36 39 44 45 51 56 57 72 74 76 78 88 91 98 99 100 101 1 4 7 8 12 15 17 22 26 37 40 45 46 52 57 58 73 75 77 79 89 92 99 100 101 1 2 5 8 9 13 16 18 23 27 38 41 46 47 53 58 59 74 76 78 80 90 93 100 101 1 2 3 6 9 10 14 17 19 24 28 39 42 47 48 54 59 60 75 77 79 81 91 94 101 1 2 3 4 7 10 11 15 18 20 25 29 40 43 48 49 55 60 61 76 78 80 82 92 95 2 3 4 5 8 11 12 16 19 21 26 30 41 44 49 50 56 61 62 77 79 81 83 93 96 3 4 5 6 9 12 13 17 20 22 27 31 42 45 50 51 57 62 63 78 80 82 84 94 97 4 5 6 7 10 13 14 18 21 23 28 32 43 46 51 52 58 63 64 79 81 83 85 95 98 5 6 7 8 11 14 15 19 22 24 29 33 44 47 52 53 59 64 65 80 82 84 86 96 99 6 7 8 9 12 15 16 20 23 25 30 34 45 48 53 54 60 65 66 81 83 85 87 97 100 7 8 9 10 13 16 17 21 24 26 31 35 46 49 54 55 61 66 67 82 84 86 88 98 101 1 8 9 10 11 14 17 18 22 25 27 32 36 47 50 55 56 62 67 68 83 85 87 89 99 2 9 10 11 12 15 18 19 23 26 28 33 37 48 51 56 57 63 68 69 84 86 88 90 100 3 10 11 12 13 16 19 20 24 27 29 34 38 49 52 57 58 64 69 70 85 87 89 91 101 1 4 11 12 13 14 17 20 21 25 28 30 35 39 50 53 58 59 65 70 71 86 88 90 92 2 5 12 13 14 15 18 21 22 26 29 31 36 40 51 54 59 60 66 71 72 87 89 91 93 3 6 13 14 15 16 19 22 23 27 30 32 37 41 52 55 60 61 67 72 73 88 90 92 94 4 7 14 15 16 17 20 23 24 28 31 33 38 42 53 56 61 62 68 73 74 89 91 93 95 5 8 15 16 17 18 21 24 25 29 32 34 39 43 54 57 62 63 69 74 75 90 92 94 96 6 9 16 17 18 19 22 25 26 30 33 35 40 44 55 58 63 64 70 75 76 91 93 95 97 7 10 17 18 19 20 23 26 27 31 34 36 41 45 56 59 64 65 71 76 77 92 94 96 98 8 11 18 19 20 21 24 27 28 32 35 37 42 46 57 60 65 66 72 77 78 93 95 97 99 9 12 19 20 21 22 25 28 29 33 36 38 43 47 58 61 66 67 73 78 79 94 96 98 100 10 13 20 21 22 23 26 29 30 34 37 39 44 48 59 62 67 68 74 79 80 95 97 99 101 1 11 14 21 22 23 24 27 30 31 35 38 40 45 49 60 63 68 69 75 80 81 96 98 100 2 12 15 22 23 24 25 28 31 32 36 39 41 46 50 61 64 69 70 76 81 82 97 99 101 1 3 13 16 23 24 25 26 29 32 33 37 40 42 47 51 62 65 70 71 77 82 83 98 100 2 4 14 17 24 25 26 27 30 33 34 38 41 43 48 52 63 66 71 72 78 83 84 99 101 1 3 5 15 18 25 26 27 28 31 34 35 39 42 44 49 53 64 67 72 73 79 84 85 100 2 4 6 16 19 26 27 28 29 32 35 36 40 43 45 50 54 65 68 73 74 80 85 86 101 1 3 5 7 17 20 27 28 29 30 33 36 37 41 44 46 51 55 66 69 74 75 81 86 87 2 4 6 8 18 21 28 29 30 31 34 37 38 42 45 47 52 56 67 70 75 76 82 87 88 3 5 7 9 19 22 29 30 31 32 35 38 39 43 46 48 53 57 68 71 76 77 83 88 89 4 6 8 10 20 23 30 31 32 33 36 39 40 44 47 49 54 58 69 72 77 78 84 89 90 5 7 9 11 21 24 31 32 33 34 37 40 41 45 48 50 55 59 70 73 78 79 85 90 91 6 8 10 12 22 25 32 33 34 35 38 41 42 46 49 51 56 60 71 74 79 80 86 91 92 7 9 11 13 23 26 33 34 35 36 39 42 43 47 50 52 57 61 72 75 80 81 87 92 93 8 10 12 14 24 27 34 35 36 37 40 43 44 48 51 53 58 62 73 76 81 82 88 93 94 9 11 13 15 25 28 35 36 37 38 41 44 45 49 52 54 59 63 74 77 82 83 89 94 95 10 12 14 16 26 29 36 37 38 39 42 45 46 50 53 55 60 64 75 78 83 84 90 95 96 11 13 15 17 27 30 37 38 39 40 43 46 47 51 54 56 61 65 76 79 84 85 91 96 97 12 14 16 18 28 31 38 39 40 41 44 47 48 52 55 57 62 66 77 80 85 86 92 97 98 13 15 17 19 29 32 39 40 41 42 45 48 49 53 56 58 63 67 78 81 86 87 93 98 99 14 16 18 20 30 33 40 41 42 43 46 49 50 54 57 59 64 68 79 82 87 88 94 99 100 15 17 19 21 31 34 41 42 43 44 47 50 51 55 58 60 65 69 80 83 88 89 95 100 101 1 16 18 20 22 32 35 42 43 44 45 48 51 52 56 59 61 66 70 81 84 89 90 96 101 1 2 17 19 21 23 33 36 43 44 45 46 49 52 53 57 60 62 67 71 82 85 90 91 97 2 3 18 20 22 24 34 37 44 45 46 47 50 53 54 58 61 63 68 72 83 86 91 92 98 3 4 19 21 23 25 35 38 45 46 47 48 51 54 55 59 62 64 69 73 84 87 92 93 99 4 5 20 22 24 26 36 39 46 47 48 49 52 55 56 60 63 65 70 74 85 88 93 94 100 5 6 21 23 25 27 37 40 47 48 49 50 53 56 57 61 64 66 71 75 86 89 94 95 101 1 6 7 22 24 26 28 38 41 48 49 50 51 54 57 58 62 65 67 72 76 87 90 95 96 2 7 8 23 25 27 29 39 42 49 50 51 52 55 58 59 63 66 68 73 77 88 91 96 97 3 8 9 24 26 28 30 40 43 50 51 52 53 56 59 60 64 67 69 74 78 89 92 97 98 4 9 10 25 27 29 31 41 44 51 52 53 54 57 60 61 65 68 70 75 79 90 93 98 99 5 10 11 26 28 30 32 42 45 52 53 54 55 58 61 62 66 69 71 76 80 91 94 99 100 6 11 12 27 29 31 33 43 46 53 54 55 56 59 62 63 67 70 72 77 81 92 95 100 101 1 7 12 13 28 30 32 34 44 47 54 55 56 57 60 63 64 68 71 73 78 82 93 96 101 1 2 8 13 14 29 31 33 35 45 48 55 56 57 58 61 64 65 69 72 74 79 83 94 97 2 3 9 14 15 30 32 34 36 46 49 56 57 58 59 62 65 66 70 73 75 80 84 95 98 3 4 10 15 16 31 33 35 37 47 50 57 58 59 60 63 66 67 71 74 76 81 85 96 99 4 5 11 16 17 32 34 36 38 48 51 58 59 60 61 64 67 68 72 75 77 82 86 97 100 5 6 12 17 18 33 35 37 39 49 52 59 60 61 62 65 68 69 73 76 78 83 87 98 101 1 6 7 13 18 19 34 36 38 40 50 53 60 61 62 63 66 69 70 74 77 79 84 88 99 2 7 8 14 19 20 35 37 39 41 51 54 61 62 63 64 67 70 71 75 78 80 85 89 100 3 8 9 15 20 21 36 38 40 42 52 55 62 63 64 65 68 71 72 76 79 81 86 90 101 1 4 9 10 16 21 22 37 39 41 43 53 56 63 64 65 66 69 72 73 77 80 82 87 91 2 5 10 11 17 22 23 38 40 42 44 54 57 64 65 66 67 70 73 74 78 81 83 88 92 3 6 11 12 18 23 24 39 41 43 45 55 58 65 66 67 68 71 74 75 79 82 84 89 93 4 7 12 13 19 24 25 40 42 44 46 56 59 66 67 68 69 72 75 76 80 83 85 90 94 5 8 13 14 20 25 26 41 43 45 47 57 60 67 68 69 70 73 76 77 81 84 86 91 95 6 9 14 15 21 26 27 42 44 46 48 58 61 68 69 70 71 74 77 78 82 85 87 92 96 7 10 15 16 22 27 28 43 45 47 49 59 62 69 70 71 72 75 78 79 83 86 88 93 97 8 11 16 17 23 28 29 44 46 48 50 60 63 70 71 72 73 76 79 80 84 87 89 94 98 9 12 17 18 24 29 30 45 47 49 51 61 64 71 72 73 74 77 80 81 85 88 90 95 99 10 13 18 19 25 30 31 46 48 50 52 62 65 72 73 74 75 78 81 82 86 89 91 96 100 11 14 19 20 26 31 32 47 49 51 53 63 66 73 74 75 76 79 82 83 87 90 92 97 101 1 12 15 20 21 27 32 33 48 50 52 54 64 67 74 75 76 77 80 83 84 88 91 93 98 2 13 16 21 22 28 33 34 49 51 53 55 65 68 75 76 77 78 81 84 85 89 92 94 99 3 14 17 22 23 29 34 35 50 52 54 56 66 69 76 77 78 79 82 85 86 90 93 95 100 4 15 18 23 24 30 35 36 51 53 55 57 67 70 77 78 79 80 83 86 87 91 94 96 101
Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 5 16 19 24 25 31 36 37 52 54 56 58 68 71 78 79 80 81 84 87 88 92 95 97
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für Lösung 1 dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 12
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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