Der (109,28,7)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 109×109-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 28 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 7 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 109, k = 28, λ = 7), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 109, k = 28, λ = 7 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 109 Blöcken und 109 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 28 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 7 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 28 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 7 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(109,28,7)-Blockplan. Diese Lösung ist:
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 4 6 8 10 16 17 22 23 26 27 28 36 39 46 49 50 64 67 74 76 79 81 82 90 98 106 2 3 5 7 9 11 17 18 23 24 27 28 29 37 40 47 50 51 65 68 75 77 80 82 83 91 99 107 3 4 6 8 10 12 18 19 24 25 28 29 30 38 41 48 51 52 66 69 76 78 81 83 84 92 100 108 4 5 7 9 11 13 19 20 25 26 29 30 31 39 42 49 52 53 67 70 77 79 82 84 85 93 101 109 1 5 6 8 10 12 14 20 21 26 27 30 31 32 40 43 50 53 54 68 71 78 80 83 85 86 94 102 2 6 7 9 11 13 15 21 22 27 28 31 32 33 41 44 51 54 55 69 72 79 81 84 86 87 95 103 3 7 8 10 12 14 16 22 23 28 29 32 33 34 42 45 52 55 56 70 73 80 82 85 87 88 96 104 4 8 9 11 13 15 17 23 24 29 30 33 34 35 43 46 53 56 57 71 74 81 83 86 88 89 97 105 5 9 10 12 14 16 18 24 25 30 31 34 35 36 44 47 54 57 58 72 75 82 84 87 89 90 98 106 6 10 11 13 15 17 19 25 26 31 32 35 36 37 45 48 55 58 59 73 76 83 85 88 90 91 99 107 7 11 12 14 16 18 20 26 27 32 33 36 37 38 46 49 56 59 60 74 77 84 86 89 91 92 100 108 8 12 13 15 17 19 21 27 28 33 34 37 38 39 47 50 57 60 61 75 78 85 87 90 92 93 101 109 1 9 13 14 16 18 20 22 28 29 34 35 38 39 40 48 51 58 61 62 76 79 86 88 91 93 94 102 2 10 14 15 17 19 21 23 29 30 35 36 39 40 41 49 52 59 62 63 77 80 87 89 92 94 95 103 3 11 15 16 18 20 22 24 30 31 36 37 40 41 42 50 53 60 63 64 78 81 88 90 93 95 96 104 4 12 16 17 19 21 23 25 31 32 37 38 41 42 43 51 54 61 64 65 79 82 89 91 94 96 97 105 5 13 17 18 20 22 24 26 32 33 38 39 42 43 44 52 55 62 65 66 80 83 90 92 95 97 98 106 6 14 18 19 21 23 25 27 33 34 39 40 43 44 45 53 56 63 66 67 81 84 91 93 96 98 99 107 7 15 19 20 22 24 26 28 34 35 40 41 44 45 46 54 57 64 67 68 82 85 92 94 97 99 100 108 8 16 20 21 23 25 27 29 35 36 41 42 45 46 47 55 58 65 68 69 83 86 93 95 98 100 101 109 1 9 17 21 22 24 26 28 30 36 37 42 43 46 47 48 56 59 66 69 70 84 87 94 96 99 101 102 2 10 18 22 23 25 27 29 31 37 38 43 44 47 48 49 57 60 67 70 71 85 88 95 97 100 102 103 3 11 19 23 24 26 28 30 32 38 39 44 45 48 49 50 58 61 68 71 72 86 89 96 98 101 103 104 4 12 20 24 25 27 29 31 33 39 40 45 46 49 50 51 59 62 69 72 73 87 90 97 99 102 104 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74 81 84 85 99 102 109 1 3 6 8 9 17 25 33 37 38 40 42 44 46 52 53 58 59 62 63 64 72 75 82 85 86 100 103 2 4 7 9 10 18 26 34 38 39 41 43 45 47 53 54 59 60 63 64 65 73 76 83 86 87 101 104 3 5 8 10 11 19 27 35 39 40 42 44 46 48 54 55 60 61 64 65 66 74 77 84 87 88 102 105 4 6 9 11 12 20 28 36 40 41 43 45 47 49 55 56 61 62 65 66 67 75 78 85 88 89 103 106 5 7 10 12 13 21 29 37 41 42 44 46 48 50 56 57 62 63 66 67 68 76 79 86 89 90 104 107 6 8 11 13 14 22 30 38 42 43 45 47 49 51 57 58 63 64 67 68 69 77 80 87 90 91 105 108 7 9 12 14 15 23 31 39 43 44 46 48 50 52 58 59 64 65 68 69 70 78 81 88 91 92 106 109 1 8 10 13 15 16 24 32 40 44 45 47 49 51 53 59 60 65 66 69 70 71 79 82 89 92 93 107 2 9 11 14 16 17 25 33 41 45 46 48 50 52 54 60 61 66 67 70 71 72 80 83 90 93 94 108 3 10 12 15 17 18 26 34 42 46 47 49 51 53 55 61 62 67 68 71 72 73 81 84 91 94 95 109 1 4 11 13 16 18 19 27 35 43 47 48 50 52 54 56 62 63 68 69 72 73 74 82 85 92 95 96 2 5 12 14 17 19 20 28 36 44 48 49 51 53 55 57 63 64 69 70 73 74 75 83 86 93 96 97 3 6 13 15 18 20 21 29 37 45 49 50 52 54 56 58 64 65 70 71 74 75 76 84 87 94 97 98 4 7 14 16 19 21 22 30 38 46 50 51 53 55 57 59 65 66 71 72 75 76 77 85 88 95 98 99 5 8 15 17 20 22 23 31 39 47 51 52 54 56 58 60 66 67 72 73 76 77 78 86 89 96 99 100 6 9 16 18 21 23 24 32 40 48 52 53 55 57 59 61 67 68 73 74 77 78 79 87 90 97 100 101 7 10 17 19 22 24 25 33 41 49 53 54 56 58 60 62 68 69 74 75 78 79 80 88 91 98 101 102 8 11 18 20 23 25 26 34 42 50 54 55 57 59 61 63 69 70 75 76 79 80 81 89 92 99 102 103 9 12 19 21 24 26 27 35 43 51 55 56 58 60 62 64 70 71 76 77 80 81 82 90 93 100 103 104 10 13 20 22 25 27 28 36 44 52 56 57 59 61 63 65 71 72 77 78 81 82 83 91 94 101 104 105 11 14 21 23 26 28 29 37 45 53 57 58 60 62 64 66 72 73 78 79 82 83 84 92 95 102 105 106 12 15 22 24 27 29 30 38 46 54 58 59 61 63 65 67 73 74 79 80 83 84 85 93 96 103 106 107 13 16 23 25 28 30 31 39 47 55 59 60 62 64 66 68 74 75 80 81 84 85 86 94 97 104 107 108 14 17 24 26 29 31 32 40 48 56 60 61 63 65 67 69 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20 23 24 38 41 48 50 53 55 56 64 72 80 84 85 87 89 91 93 99 100 105 106 109 1 2 3 11 14 21 24 25 39 42 49 51 54 56 57 65 73 81 85 86 88 90 92 94 100 101 106 107 2 3 4 12 15 22 25 26 40 43 50 52 55 57 58 66 74 82 86 87 89 91 93 95 101 102 107 108 3 4 5 13 16 23 26 27 41 44 51 53 56 58 59 67 75 83 87 88 90 92 94 96 102 103 108 109 1 4 5 6 14 17 24 27 28 42 45 52 54 57 59 60 68 76 84 88 89 91 93 95 97 103 104 109 1 2 5 6 7 15 18 25 28 29 43 46 53 55 58 60 61 69 77 85 89 90 92 94 96 98 104 105 2 3 6 7 8 16 19 26 29 30 44 47 54 56 59 61 62 70 78 86 90 91 93 95 97 99 105 106 3 4 7 8 9 17 20 27 30 31 45 48 55 57 60 62 63 71 79 87 91 92 94 96 98 100 106 107 4 5 8 9 10 18 21 28 31 32 46 49 56 58 61 63 64 72 80 88 92 93 95 97 99 101 107 108 5 6 9 10 11 19 22 29 32 33 47 50 57 59 62 64 65 73 81 89 93 94 96 98 100 102 108 109 1 6 7 10 11 12 20 23 30 33 34 48 51 58 60 63 65 66 74 82 90 94 95 97 99 101 103 109 1 2 7 8 11 12 13 21 24 31 34 35 49 52 59 61 64 66 67 75 83 91 95 96 98 100 102 104 2 3 8 9 12 13 14 22 25 32 35 36 50 53 60 62 65 67 68 76 84 92 96 97 99 101 103 105 3 4 9 10 13 14 15 23 26 33 36 37 51 54 61 63 66 68 69 77 85 93 97 98 100 102 104 106 4 5 10 11 14 15 16 24 27 34 37 38 52 55 62 64 67 69 70 78 86 94 98 99 101 103 105 107 5 6 11 12 15 16 17 25 28 35 38 39 53 56 63 65 68 70 71 79 87 95 99 100 102 104 106 108 6 7 12 13 16 17 18 26 29 36 39 40 54 57 64 66 69 71 72 80 88 96 100 101 103 105 107 109 1 7 8 13 14 17 18 19 27 30 37 40 41 55 58 65 67 70 72 73 81 89 97 101 102 104 106 108 2 8 9 14 15 18 19 20 28 31 38 41 42 56 59 66 68 71 73 74 82 90 98 102 103 105 107 109 1 3 9 10 15 16 19 20 21 29 32 39 42 43 57 60 67 69 72 74 75 83 91 99 103 104 106 108 2 4 10 11 16 17 20 21 22 30 33 40 43 44 58 61 68 70 73 75 76 84 92 100 104 105 107 109 1 3 5 11 12 17 18 21 22 23 31 34 41 44 45 59 62 69 71 74 76 77 85 93 101 105 106 108 2 4 6 12 13 18 19 22 23 24 32 35 42 45 46 60 63 70 72 75 77 78 86 94 102 106 107 109 1 3 5 7 13 14 19 20 23 24 25 33 36 43 46 47 61 64 71 73 76 78 79 87 95 103 107 108 2 4 6 8 14 15 20 21 24 25 26 34 37 44 47 48 62 65 72 74 77 79 80 88 96 104 108 109 1 3 5 7 9 15 16 21 22 25 26 27 35 38 45 48 49 63 66 73 75 78 80 81 89 97 105 109
Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 2 4 6 8 10 16 17 22 23 26 27 28 36 39 46 49 50 64 67 74 76 79 81 82 90 98 106
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 9
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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