Der (27,13,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 27 × 27 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 13 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 27, k = 13, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(27,13,6)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 7 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 27, k = 13, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 27 Blöcken und 27 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 13 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 13 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren genau 208310 nichtisomorphe 2-(27,13,6) - Blockpläne. Sechs dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 mit der Signatur 12·1, 5·2, 1·3, 1·7, 1·8, 3·26, 1·28, 1·31, 2·35. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
- Lösung 2 mit der Signatur 13·1, 3·2, 1·6, 1·7, 1·21, 1·24, 1·25, 2·26, 1·28, 1·31, 1·33, 1·35. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
- Lösung 3 mit der Signatur 9·1, 10·2, 1·5, 1·8, 1·10, 1·20, 1·22, 1·26, 1·28, 1·32. Sie enthält 2 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 4 mit der Signatur 10·1, 7·2, 1·4, 1·7, 1·9, 1·25, 2·27, 1·28, 1·29, 1·31, 1·39. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
- Lösung 5 (dual zur Lösung 6) mit der Signatur 10·1, 3·2, 1·4, 1·28, 1·29, 2·31, 2·32, 2·33, 1·34, 1·35, 1·36, 1·38, 1·39. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
- Lösung 6 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 9·1, 6·2, 1·3, 1·23, 1·28, 1·30, 1·31, 1·32, 2·33, 1·35, 1·37, 2·41 Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 17 19 23 24 25 2 4 6 8 10 12 14 17 20 21 24 26 27 2 4 6 9 11 13 16 17 19 21 22 25 26 2 4 7 8 11 12 15 18 19 20 21 22 23 2 5 6 9 10 13 15 18 20 22 23 24 26 2 5 7 8 10 13 14 16 19 20 22 25 27 2 5 7 9 11 12 14 16 17 18 23 26 27 3 4 6 8 11 13 14 16 18 22 23 24 27 3 4 7 9 10 12 16 17 18 20 22 24 25 3 4 7 9 10 13 14 15 18 19 21 26 27 3 5 6 8 10 12 16 18 19 21 23 25 26 3 5 6 9 11 12 14 15 20 21 22 25 27 3 5 7 8 11 13 15 16 17 20 21 24 26 4 5 6 7 8 9 15 17 19 23 24 25 27
- Lösung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 17 19 23 24 25 2 4 6 8 10 12 14 18 19 21 23 26 27 2 4 6 9 11 13 16 17 19 21 22 25 26 2 4 7 8 11 12 16 17 18 20 22 23 24 2 5 6 9 10 13 15 18 20 22 23 24 26 2 5 7 8 10 13 14 16 19 20 22 25 27 2 5 7 9 11 12 14 15 17 20 21 26 27 3 4 6 8 11 13 14 15 20 21 22 24 27 3 4 7 9 10 12 15 18 19 20 21 22 25 3 4 7 9 10 13 14 16 17 18 24 26 27 3 5 6 8 10 12 16 17 20 21 24 25 26 3 5 6 9 11 12 14 16 18 22 23 25 27 3 5 7 8 11 13 15 16 18 19 21 23 26 4 5 6 7 8 9 15 17 19 23 24 25 27
- Lösung 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 17 19 23 24 25 2 4 6 8 10 12 14 18 20 22 23 24 27 2 4 6 9 11 13 15 18 19 21 22 23 26 2 4 7 8 11 12 16 17 19 20 21 22 25 2 5 6 9 10 13 16 17 20 22 24 25 26 2 5 7 8 10 13 14 15 19 20 21 26 27 2 5 7 9 11 12 14 16 17 18 23 26 27 3 4 6 8 11 13 14 16 17 21 24 26 27 3 4 7 9 10 12 15 17 18 20 21 24 26 3 4 7 9 10 13 14 16 18 19 22 25 27 3 5 6 8 10 12 16 18 19 21 23 25 26 3 5 6 9 11 12 14 15 20 21 22 25 27 3 5 7 8 11 13 15 16 18 20 22 23 24 4 5 6 7 8 9 15 17 19 23 24 25 27
- Lösung 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 18 19 21 23 26 2 4 6 8 10 12 14 17 19 23 24 25 27 2 4 6 9 11 13 16 17 18 22 23 24 26 2 4 7 9 11 12 15 17 19 20 21 22 25 2 5 6 8 10 13 16 19 20 21 22 25 26 2 5 7 8 11 12 14 16 18 20 22 23 27 2 5 7 9 10 13 14 15 17 20 24 26 27 3 4 6 8 11 13 14 15 20 21 22 24 27 3 4 7 8 10 12 16 17 18 20 21 24 26 3 4 7 9 10 13 14 16 18 19 22 25 27 3 5 6 9 10 12 15 18 20 22 23 24 25 3 5 6 9 11 12 14 16 17 21 25 26 27 3 5 7 8 11 13 15 16 17 19 23 24 25 4 5 6 7 8 9 15 18 19 21 23 26 27
- Lösung 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 10 12 13 14 17 19 22 24 26 27 1 4 6 8 10 12 15 18 20 22 23 25 26 1 4 7 9 10 13 16 17 19 20 21 25 26 1 4 7 9 11 13 14 15 18 19 22 23 27 1 5 6 8 11 13 16 19 20 21 22 23 24 1 5 7 8 11 12 14 15 17 20 21 26 27 1 5 9 10 11 12 14 16 17 18 23 24 25 2 3 7 11 12 13 16 17 18 20 22 23 26 2 4 5 10 11 13 15 17 20 22 24 25 27 2 4 6 9 11 12 15 17 19 21 23 24 26 2 4 7 8 10 12 14 16 19 20 23 24 27 2 5 6 9 10 13 14 18 20 21 23 26 27 2 5 8 9 12 13 14 15 16 19 22 25 26 2 6 7 8 10 11 14 17 18 19 21 22 25 3 4 5 8 12 13 17 18 19 21 23 25 27 3 4 6 9 11 12 14 16 20 21 22 25 27 3 4 8 10 11 13 14 15 16 18 21 24 26 3 5 6 7 10 11 15 16 19 23 25 26 27 3 5 7 9 10 12 15 18 19 20 21 22 24 3 6 7 8 9 13 14 15 17 20 23 24 25 4 5 6 7 8 9 16 17 18 22 24 26 27
- Lösung 6
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Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . . O . . . . O O O . O O . . O O . O O . . . O . . O O . O . . . . O O . O O O . . O . O . . O O O . O O . . . . O O . . . . . . O O O O O O . O . O . . . O O O . . . O . O . O . O . O . O . O . . O . . O O . . O . O O . O . O . O . . O . O . O . . O O . O . O O . . O O . . O . O . . O O . . O O . . O . . O O O O O O . . . . . O . . O O . . O O . . O . O . . O . O . O O O . O . . O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O . O . . O . O . O . O O . O . O O O . . . . O . . O O . . O O . O . O . . O . O O . O . O . . . O O O . . O . . O O . . O . O O . O . . . O O O . O . O . O O . . . . O O . . O . O O . . O O O . . O O . O . . . . O O . . O . O O . O . O . O . . . O . O O . O . O . O O . . . O . O O . . O . O O . O O . . . . O O O . . O . O . . O . O . O O . . O . O . O O O . . O O . . O . O . . . . O O O O O O . . . . . O . O . O . . . O O O . O
- Lösung 2
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . . O . . . . O O O . O O . . O O . O O . . . O . . O O . O . . . . O O . O O O . . O . O . . O O O . O O . . . . O O . . . . . . O O O O O O . O . O . . . O O O . . . O . O . O . O . O . O . O . . . O O . O . O . . O O . O . O . O . . O . O . O . . O O . O . O O . . O O . . O . O . . O O . . O O . . . O O O . O . O O O . . . . O . . O O . . O O . . O . O . . O . O . O O O . O . . O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O . O . . O . O . O . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . O O . O . O . . O . O O O . . . . O O O . O . . O . . O O . . O . O O . O . . O . . O O O O O . . O . . . . O O . . O . O O . . O O . O O O . . . . . O . O O . . O . O O . O . O . O . . . O O . . O O . . O O O . . . O . O O . . O . O O . O . O . O . . . O O . O . O . . O . O . O O . . O . O . O O . O O . O . O . . O . . . . O O O O O O . . . . . O . O . O . . . O O O . O
- Lösung 3
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . . O . . . . O O O . O O . . O O . O O . . . O . . O O . O . . . . O O . O O O . . O . O . . O O O . O O . . . . O O . . . . . . O O O O O O . O . O . . . O O O . . . O . O . O . O . O . O . O . . . O . O . O O O . . O . O . O . O . . O . O . O . O . . O O . O O O . . O . . O . O . . O O . . O O . . . O O . O O O O . . O . . . O . . O O . . O O . . O . . O O . . O . O . O O O . . O . . O . O O . O . . O O O . . . O O O . . . . O O . O . . O . O . O . O O . O . O O O . . . . O . . O O . . O O . O . O . . O . O O . O O . . . O . . O . O O . . O O . . O . O O . O . . O . O O . O O . . O . O . . . O O . . O . O O . . O O . O . O O . . O . . O . O . . O . O O . O . O . O . . . O . O O . O . O . O O . . . O . O O . . O . O O . O O . . . . O O O . . O . O . . O . O . O O . . O . O . O O . O . O . O O O . . . . . . O O O O O O . . . . . O . O . O . . . O O O . O
- Lösung 4
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . . O . . . . O O O . O O . . O O . O O . . . O . . O O . O . . . . O O . O O O . . O . O . . O O O . O O . . . . O O . . . . . . O O O O O O . . O O . O . O . . O . . O . O . O . O . O . O . O . . O . O . . . O O O . O . O . O . O . . O . O . O . . O O O . . . O O O . O . . O . O . . O . O . O O . . O . O . O O O O . . O . . . O . . O O . O . O . . O . . O . . O O O O . . O O . . O . . O . O O . . O O . O . O . O . O . O O . . . O . O . . O . O . O O . . O O O . O . . O . . . O . O O . . O O . O . O . . O . O O O . . . . O O O . O . . O . . O O . . O O . O . O . . . O O O . O O . . O . O . . . O O . . O . O O . . O O . O . O O . . O . . O . O . . O . O O . . O O . O . . O . . O . O . O O O O . . . . O . O O . . O . O O . O . O O . . . O . . . O O O . . O . O . O O . . O . O . O O O . O . . . O O O . . . . . O O O O O O . . . . . O . . O O . O . O . . O O
- Lösung 5
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O . . . O . O O O . . O . O . . O . O . O O O . . O . O . O . O . O . . O . . O . O . O O . O O . O . . O . . O . O O . . O . . O O . O O O . . . O O . O . . O . . O . O . O . O O O . . O O . . O O . . . O O . . . O O . O . . O . O . . O . . O O O O O O . . . O . . . O . O O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O O . . . O . . . O O O O . O . O O O . . . . O O O . . . O O . . . O . . . O O O . . O O O . O . O O . . O . . O . O O . . . . O O . O . O . O . . O . O . O O . O . O . O . O . . O . O O . . O . O . O . O . O O . O . . O . O . . O O . O . O . O . O . . O O . . O O . . O . O . . O O . . O O . . O O . . . O . O O . O . . O O . O . . O . . O O . . O O O O O . . O . . O . . O O . . O . . . O O O . O O . . O . . O O O . O O . . O . . . . O O O . . O . . . O O . . . O O O . O . O . O . O . . O O . O . . O . O O . O . O . . . O O O . . O . O . . O O . . . O . O O . O O O O . O . . O . . O . O . . . O . O O O . . O O . . . O O . . O . . . O . O O O . . O . O . O . O O . O . . O . . O O O O O . O . . . . . O . . O O O O . . . O O O . O . . O . . O O O . . . . . O O O O O O . . . . . . O O O . . . O . O . O O
- Lösung 6
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . . . . O O O . O . . O O . O . . O O . O O O . . . O O O . . O . . . . O . O . O . O . O . O O O . O . . O . . O O . O . O . . O . . O . . . O O O O O . . O O . . O . . O O . . . . O . O O O . O . . O O O . . O O . . . O O . . O . . O . O O . . O . . O O O O . . O . . O O O . . . O . O . O O . O . . O O O . . O . . . O . . . . O O O O O O O . . . O . O O O . . . O . . . . O O O . . . O O O . O O . O . O O . . O . . O . . . . O O . O O O . . O O . . O O . O . O . . O . . O O . . . O . . O . O O . . . O O O O . O O . . O . . O . O . O . O . O . O . . O O . . O . . . O O O O . . O . O . O . . O . O . O O . . O . O . . O O O . . O . O . O . . O . O . . O O O O O . . . O O . . . . O O . O . . O O . O . O . . O O . . . O . O O . O . O . O . O . . O . O . O O O . . . . O O . O O O . . O O . . . O . . O . . O O . O O . O O . O O . . . O . . O O . . . O O . O . . O . O O . . . O . O . O O O O . O . . . . O O . . O O . O O . . O O . . . O O . O . . O . O . . O O . . . O . O O . O O . O O O . . O . . O . O . . . O . O O O . . . O . O . O O O . . . . . O . O O O . . O . O O . O O . . . O . O . . . O O O O . O . O . . . O . O . O O O . . O . O . O . O O . . . O O . . O . . . O O O O . . O . O . . O . O O . . O O . O . . O
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind alle Ovale maximaler Ordnung dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):
- Lösung 1 (sämtliche Ovale)
1 14 27
- Lösung 2 (sämtliche Ovale)
1 14 27
- Lösung 3 (sämtliche Ovale)
1 14 27 16 20 27
- Lösung 4 (sämtliche Ovale)
1 14 27
- Lösung 5 (sämtliche Ovale)
7 11 24
- Lösung 6 (sämtliche Ovale)
7 9 22
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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