Der (56,11,2)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 56 × 56 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 11 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 2 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 56, k = 11, λ = 2), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(56,11,2)-Blockplan wird Biplane der Ordnung 9 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 56, k = 11, λ = 2 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 56 Blöcken und 56 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 11 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 2 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 11 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 2 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren genau fünf nichtisomorphe 2-(56,11,2) - Blockpläne. Diese Lösungen sind:
- Lösung 1 (selbstdual) mit der Signatur 56·45 und den λ-chains 2520·3, 5040·4. Sie enthält 336 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 2 (selbstdual) mit der Signatur 36·21, 18·29, 2·45 und den λ-chains 1368·3, 2304·4, 144·5, 720·7, 288·8, 576·11. Sie enthält 120 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 3 (selbstdual) mit der Signatur 48·19, 4·21, 4·29 und den λ-chains 1112·3, 1424·4, 352·5, 128·6, 544·7, 224·8, 960·11. Sie enthält 64 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 4 (selbstdual) mit der Signatur 36·13, 18·21, 2·45 und den λ-chains 936·3, 1224·4, 288·5, 288·6, 576·7, 612·8, 720·11. Sie enthält 48 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 5 (selbstdual) mit der Signatur 30·11, 8·12, 18·15 und den λ-chains 696·3, 528·4, 360·5, 216·6, 408·7, 348·8, 1344·11. Sie enthält 44 Ovale der Ordnung 6.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 30 34 37 41 43 48 52 55 2 4 13 22 24 38 44 45 47 55 56 2 5 14 23 25 34 35 44 49 50 51 2 6 15 24 26 29 32 41 49 53 54 2 7 16 25 27 30 33 36 39 53 56 2 8 17 26 28 33 35 37 40 42 45 2 9 18 21 27 29 40 43 46 47 50 2 10 19 22 28 31 32 36 46 48 51 2 11 20 21 23 31 38 39 42 52 54 3 4 18 20 21 36 37 45 49 51 53 3 5 13 19 22 33 42 43 50 53 54 3 6 14 20 23 32 33 40 47 48 56 3 7 13 15 24 35 39 40 46 51 52 3 8 14 16 25 29 31 45 46 54 55 3 9 15 17 26 31 34 36 38 50 56 3 10 16 18 27 32 35 38 41 42 44 3 11 17 19 28 29 30 39 44 47 49 4 5 15 18 25 28 29 42 48 52 56 4 6 12 16 28 30 38 40 50 51 54 4 7 19 20 25 26 31 40 41 43 44 4 8 15 19 23 27 32 37 39 50 55 4 9 16 17 22 23 33 41 46 49 52 4 10 12 14 26 34 39 42 46 47 53 4 11 14 17 24 27 35 36 43 48 54 5 6 16 19 21 26 35 36 47 52 55 5 7 12 17 21 32 37 44 46 54 56 5 8 13 20 26 27 30 38 46 48 49 5 9 16 20 24 28 32 34 39 43 45 5 10 17 18 23 24 30 31 40 53 55 5 11 12 15 27 31 33 41 45 47 51 6 7 17 20 22 27 29 34 42 51 55 6 8 12 18 22 31 35 39 43 49 56 6 9 13 14 27 28 31 37 44 52 53 6 10 13 17 21 25 39 41 45 48 50 6 11 18 19 24 25 33 34 37 38 46 7 8 13 18 23 28 34 36 41 47 54 7 9 12 19 23 29 35 38 45 48 53 7 10 14 15 21 28 33 38 43 49 55 7 11 14 18 22 26 30 32 45 50 52 8 9 14 19 21 24 30 41 42 51 56 8 10 12 20 24 29 33 36 44 50 52 8 11 15 16 21 22 34 40 44 48 53 9 10 15 20 22 25 30 35 37 47 54 9 11 12 13 25 32 36 40 42 49 55 10 11 13 16 23 26 29 37 43 51 56
- Lösung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 30 34 37 41 43 48 52 55 2 4 17 22 24 32 37 44 46 54 56 2 5 14 21 27 33 42 43 50 53 54 2 6 19 24 26 29 35 38 45 48 53 2 7 16 21 23 35 39 40 46 51 52 2 8 13 26 28 32 36 40 42 49 55 2 9 18 23 25 31 34 36 38 50 56 2 10 15 22 28 31 33 41 45 47 51 2 11 20 25 27 29 30 39 44 47 49 3 4 18 20 21 36 37 45 49 51 53 3 5 15 17 26 31 35 39 43 49 56 3 6 14 20 23 32 33 40 47 48 56 3 7 17 19 28 29 33 36 44 50 52 3 8 14 16 25 29 31 45 46 54 55 3 9 13 19 22 34 39 42 46 47 53 3 10 16 18 27 32 35 38 41 42 44 3 11 13 15 24 30 38 40 50 51 54 4 5 15 16 25 28 34 40 44 48 53 4 6 12 20 28 31 38 39 42 52 54 4 7 14 19 25 26 30 41 42 51 56 4 8 13 17 23 27 39 41 45 48 50 4 9 14 15 24 27 35 36 47 52 55 4 10 12 18 26 29 40 43 46 47 50 4 11 16 19 22 23 33 38 43 49 55 5 6 13 18 24 25 33 41 46 49 52 5 7 12 13 21 38 44 45 47 55 56 5 8 18 19 23 28 30 35 37 47 54 5 9 16 20 22 26 30 32 45 50 52 5 10 17 20 23 24 29 34 42 51 55 5 11 12 19 27 31 32 36 46 48 51 6 7 17 18 22 27 30 31 40 53 55 6 8 12 14 22 34 35 44 49 50 51 6 9 13 16 27 28 29 37 43 51 56 6 10 15 19 21 25 32 37 39 50 55 6 11 16 17 21 26 34 36 41 47 54 7 8 15 20 26 27 33 34 37 38 46 7 9 12 15 23 29 32 41 49 53 54 7 10 13 20 22 25 35 36 43 48 54 7 11 14 18 24 28 32 34 39 43 45 8 9 19 20 21 24 31 40 41 43 44 8 10 12 16 24 30 33 36 39 53 56 8 11 15 18 21 22 29 42 48 52 56 9 10 14 17 21 28 30 38 46 48 49 9 11 12 17 25 33 35 37 40 42 45 10 11 13 14 23 26 31 37 44 52 53
- Lösung 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 34 35 40 41 42 43 48 51 2 4 14 24 26 29 45 46 48 52 53 2 5 13 23 25 29 43 49 50 54 55 2 6 17 21 28 34 37 39 44 50 52 2 7 18 22 28 30 32 40 46 47 54 2 8 15 22 27 31 33 41 44 49 53 2 9 16 21 27 35 36 38 45 47 55 2 10 20 23 24 32 33 38 39 42 56 2 11 19 25 26 30 31 36 37 51 56 3 4 18 20 25 31 38 40 44 45 50 3 5 17 20 26 33 34 36 46 47 49 3 6 14 19 23 31 35 39 47 53 54 3 7 13 19 24 32 36 41 44 52 55 3 8 13 15 21 37 38 46 48 54 56 3 9 14 16 22 30 33 43 50 52 56 3 10 17 18 27 29 30 37 42 53 55 3 11 15 16 28 29 32 39 45 49 51 4 5 13 14 27 28 42 44 47 51 56 4 6 16 20 26 27 32 37 41 43 54 4 7 12 18 21 36 39 43 49 53 56 4 8 16 19 22 25 34 39 42 46 55 4 9 17 19 23 28 30 38 41 48 49 4 10 15 17 22 24 35 36 50 51 54 4 11 12 15 23 33 37 40 47 52 55 5 6 12 17 22 31 32 45 48 55 56 5 7 15 20 25 27 30 35 39 48 52 5 8 18 19 24 28 33 35 37 43 45 5 9 15 19 21 26 32 40 42 50 53 5 10 16 18 21 23 31 41 46 51 52 5 11 12 16 24 30 34 38 44 53 54 6 7 12 19 27 29 33 38 46 50 51 6 8 14 20 21 24 30 40 49 51 55 6 9 15 18 24 25 29 34 41 47 56 6 10 13 16 25 28 33 36 40 48 53 6 11 13 18 22 26 35 38 42 49 52 7 8 16 17 23 26 29 35 40 44 56 7 9 13 20 22 23 34 37 45 51 53 7 10 14 15 26 28 31 34 38 43 55 7 11 14 17 21 25 33 41 42 45 54 8 9 12 20 28 29 31 36 42 52 54 8 10 12 13 26 30 39 41 45 47 50 8 11 14 18 23 27 32 34 36 48 50 9 10 12 14 25 32 35 37 44 46 49 9 11 13 17 24 27 31 39 40 43 46 10 11 19 20 21 22 29 43 44 47 48
- Lösung 4
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- Lösung 5
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Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . O . . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . 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- Lösung 2
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- Lösung 3
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- Lösung 5
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . O O . . . . . . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . O . . . O . . O . . . O O . . . . . . . . O . . O . . . . . . . O . O . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . O O . . O . . . O . O . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . O . . . O . . O O . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O O . . . . . O . O . . O . . . . . . . . . . . . O . O . . O . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . O . . . . . O . O . . O . . . . . . . . . . O . . . . O . . O O . . . . O . . . . . . . . . . O . . . . . . . O O . . . O . . . . O . . O . . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . . O . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . O O . . O . . O . . . O O . . O . . . . 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Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 12 29 46 49 51
- Lösung 2
2 4 14 23 28 29
- Lösung 3
1 4 19 37 44 53
- Lösung 4
1 3 31 40 44 53
- Lösung 5
1 12 24 28 41 50
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Petteri Kaski, Patric R. J. Östergård: There are exactly five biplanes with k = 11. In: Journal of Combinatorial Designs. Bd. 16, Nr. 2, 2008, S. 117–127, doi:10.1002/jcd.20145.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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