Der (57,8,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 57 × 57 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 8 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 57, k = 8, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(57,8,1)-Blockplan wird projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 7 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 57, k = 8, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 57 Blöcken und 57 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 8 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 8 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(57,8,1) - Blockplan. Er ist selbstdual und hat die Signatur 57*280. Er enthält 16758 Ovale der Ordnung 8.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
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Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . 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Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
1 2 4 14 33 37 44 53
Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)
Diese Projektive Ebene der Ordnung 7 ist äquivalent mit diesen 6 MOLS der Ordnung 7:
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
1 2 9 17 26 32 43 55
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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