Allgemeine Aberration

Der Unterschied der Ausbreitungsrichtung von Licht in unterschiedlichen Inertialsystemen wird am einfachsten mit der Teilchentheorie des Lichts erklärt. Die Zusammenhänge sind hier ähnlich wie bei einem bewegten Beobachter, der die Richtung der auf ihn einprasselnden Regentropfen bestimmen will.

Es sei ein Inertialsystem gegeben, in dem ein Lichtstrahl senkrecht von einer Lichtquelle ausgeht. (Die Lichtquelle wird aus Gründen der Anschaulichkeit vorerst als in diesem System ruhend angenommen, was den Umständen bei einer Lichtuhr oder dem senkrechten Arm eines Michelson-Interferometers entspricht.) Würde zusätzlich ein Fernrohr im selben Inertialsystem ruhen, müsste man es exakt in die Lotrichtung bringen, um damit die Lichtquelle zu beobachten. Hingegen für den Fall, dass sich das Fernrohr mit einer Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ bewegt, muss es in Bewegungsrichtung gekippt werden, um den Lichtstrahl in seiner Mitte zu halten (Bild links), denn das Licht benötigt eine gewisse Zeit, um das Fernrohr zu durchlaufen. Hingegen entsteht im Inertialsystem des Beobachters beim Fernrohr der Eindruck, dass die Strahlen geneigt eintreffen, und die Lichtquelle erscheint nicht in ihrer tatsächlichen Richtung, sondern um einen kleinen Aberrationswinkel in Richtung der Fernrohrbewegung verschoben (Bild rechts). Die entsprechende Aberrationsformel zur Bestimmung der relativen Winkel in zueinander bewegten Inertialsystemen wird durch Anwendung der relativistischen Geschwindigkeitsaddition abgeleitet (siehe Herleitung).

Stellare Aberration

Die relativistische Aberrationsformel gilt nun generell beim Übergang von einem Inertialsystem in ein anderes, egal ob die Lichtquelle in irgendeinem dieser Systeme ruht oder nicht. Beispielsweise bei astronomischen Beobachtungen handelt es sich bei den Lichtquellen um Sterne oder Sternsysteme, deren genauer Bewegungszustand oft nicht bekannt ist. Denn aufgrund der großen Entfernung schrumpfen diese zu sehr kleinen oder überhaupt punktförmigen Objekten, deren Eigenbewegungen zu gering sind, um ihre relativen Positionen im Nachthimmel nennenswert zu verändern („Fixsterne“). Aus Sicht eines bei der Sonne ruhenden Beobachters würde das Licht eines entfernten Sternsystems also immer annähernd im gleichen Winkel einströmen. Selbst große Geschwindigkeiten innerhalb des beobachteten Sternsystems (wie beispielsweise die gegensätzlichen Bewegungen von Doppelsternen) ändern an diesem Umstand nichts, da auch hier nur diejenigen Lichtstrahlen von Bedeutung sind, die sich vom Doppelsternsystem aus geradlinig mit genau dem Winkel ausbreiten, um den Beobachter überhaupt zu erreichen. Zur Bestimmung der Richtung eines Strahls spielen also nur der relative Ort der Emission und der Ort des Empfängers eine Rolle. Deswegen ist die gelegentlich auftretende Vorstellung zu verwerfen, dass der stellare Aberrationswinkel von der tatsächlichen Eigenbewegung der Lichtquelle abhängt („aktive Aberration“). Dieser Umstand wurde bereits 1844 von Herschel und später auch von Emden (1926) und Eisner (1967) aufgezeigt.

Entscheidend ist die Orbitalgeschwindigkeit der Erde um die Sonne von ungefähr 30 km/s, womit in 6 Monaten eine maximale Geschwindigkeitsdifferenz von ungefähr 60 km/s gegeben ist. Dadurch ist der Fixsternhimmel aus Sicht der Erde als Ganzes in Bewegung. Nun ist es für den irdischen Beobachter nicht möglich, aus einer einzigen Messung zu entscheiden, ob der Strahl deshalb bei ihm geneigt eintrifft, weil ein Aberrationseffekt vorliegt, oder ob der Strahl geneigt von einem Stern abgestrahlt wurde, der im selben Inertialsystem ruht wie der Beobachter. Deshalb ist es notwendig, dass zu einem späteren Zeitpunkt eine zweite Messung durchgeführt wird, die mit der ersten Messung verglichen wird. Die so gemessene jährliche Veränderung des Aberrationswinkels entspricht (unter Vernachlässigung von geringfügigen Effekten wie der Parallaxe) dem Ergebnis der relativistischen Aberrationsformel, wobei die verwendete Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ nicht die Relativgeschwindigkeit zwischen Stern und Erde ist, sondern die Relativgeschwindigkeit zwischen dem Inertialsystem, in dem die Erde ruht während der ersten Messung, und dem Inertialsystem, in dem sie bei der nachfolgenden Messung im Zuge der Umkreisung der Sonne ruht.

Herleitung

In der klassischen Mechanik sind die Geschwindigkeitskomponenten eines Strahls in verschiedenen Inertialsystemen durch die Galilei-Transformation miteinander verknüpft. Ein Strahl, der sich in einem Inertialsystem mit ${\displaystyle c}$ ausschließlich in y-Richtung ausbreitet, erhält in einem relativ mit ${\displaystyle v}$ bewegten zweiten Inertialsystem zusätzlich die Geschwindigkeitskomponente ${\displaystyle v}$ in x-Richtung, während die Komponente in y-Richtung gleich bleibt. Die Aberrationsformel ergibt sich mit:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}{c}}}$.

Dieses Ergebnis ist allerdings nur als Näherung gültig, denn wie Albert Einstein 1905 zeigte, muss gemäß der speziellen Relativitätstheorie die Lorentz-Transformation bzw. die relativistische Geschwindigkeitsaddition angewendet werden. Dadurch ergeben sich Geschwindigkeitskomponenten von ${\displaystyle v}$ in x-Richtung und ${\textstyle {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$ in y-Richtung, wodurch die Gesamtgeschwindigkeit des Strahls gleich ${\displaystyle c}$ bleibt. Die korrekte, relativistische Aberrationsformel für diesen Spezialfall lautet somit:

${\displaystyle \tan \alpha =\gamma {\frac {v}{c}}\quad {\text{oder}}\quad \sin \alpha ={\frac {v}{c}},}$

wo ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ der Lorentzfaktor ist. Die Abweichung von der klassischen Formel ist also bei (im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit) geringen Geschwindigkeiten sehr klein. Dasselbe Ergebnis erhält man auch, wenn man berücksichtigt, dass Lichtstrahlen bzw. Photonen einen Impuls von ${\displaystyle p=E/c}$ besitzen (wobei ${\displaystyle E}$ die Energie ist). Auch hier ergibt eine Transformation in ein relativ bewegtes System eine entsprechende Änderung der Impulskomponenten gemäß der relativistischen Aberrationsformel.

Für den Fall, dass der Strahl in beiden Systemen geneigt ist, gilt die allgemeine Aberrationsformel, welche in einigen äquivalenten Varianten angegeben werden kann (die erste Variante stammt von Einstein 1905):

${\displaystyle \cos \alpha '={\frac {\cos \alpha -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \alpha }};\quad \sin \alpha '={\frac {\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \alpha }};\quad \tan {\frac {\alpha '}{2}}=\tan {\frac {\alpha }{2}}{\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}}$,

wenn ${\displaystyle \alpha }$ der Winkel im ersten System und ${\displaystyle \alpha '}$ in einem mit ${\displaystyle v}$ bewegten System ist.