Newtonsche Gesetze

Die Newtonschen Gesetze gelten als die Grundlage der klassischen Mechanik, auf der alle weiteren Modelle basieren. Zentrales Konzept dieser Formulierung ist die Einführung von Kräften, die eine Beschleunigung ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}}$ einer Masse ${\displaystyle m}$ hervorrufen. Die Bewegungsgleichung dieser Masse wird bestimmt durch die Überlagerung der Kräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$, die auf die Masse wirken:

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}=\sum _{i=1}^{N}{{\vec {F}}_{i}}}$

Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus beschreibt die Gesetze der klassischen Mechanik durch die Lagrange-Funktion ${\displaystyle L}$, die für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen als Differenz aus kinetischer Energie ${\displaystyle T}$ und potentieller Energie ${\displaystyle V}$ gegeben ist:

${\displaystyle L=T-V}$

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich durch Anwenden der Euler-Lagrange-Gleichungen, die die Ableitungen nach der Zeit ${\displaystyle t}$, den Geschwindigkeiten ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ und den generalisierten Koordinaten ${\displaystyle q_{i}}$ miteinander in Verbindung setzt:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial {L}}{\partial q_{i}}}}$

Hamiltonsche Mechanik

Die Hamiltonsche Mechanik ist die am stärksten verallgemeinerte Formulierung der klassischen Mechanik und Ausgangspunkt der Entwicklung neuerer Theorien und Modelle, wie der Quantenmechanik. Zentrale Gleichung dieser Formulierung ist die Hamilton-Funktion ${\displaystyle H}$. Sie ist folgendermaßen definiert:

${\displaystyle H=\sum \limits _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t)}$

Dabei sind ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ die generalisierten Geschwindigkeiten und ${\displaystyle p_{i}}$ die generalisierten Impulse. Ist die potentielle Energie unabhängig von der Geschwindigkeit und hängen die Transformations-Gleichungen, die die generalisierten Koordinaten definieren, nicht von der Zeit ab, ist die Hamilton-Funktion in der klassischen Mechanik durch die Summe aus kinetischer Energie ${\displaystyle T}$ und potentieller Energie ${\displaystyle V}$ gegeben:

${\displaystyle H=T+V}$

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich durch Anwenden der kanonischen Gleichungen:

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}$

Mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus existiert eine modifizierte Form dieser Beschreibung, die die Hamilton-Funktion mit der Wirkung verknüpft.

Das Verhältnis zur Relativitätstheorie

Anders als in der Relativitätstheorie gibt es in der klassischen Mechanik keine Maximalgeschwindigkeit, mit der sich Signale ausbreiten können. So ist es in einem klassischen Universum möglich, alle Uhren mit einem unendlich schnellen Signal zu synchronisieren. Dadurch ist eine absolute, in jedem Inertialsystem gültige Zeit denkbar.

In der Relativitätstheorie ist die größte Signalgeschwindigkeit gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Unter der Annahme, dass zur Messung physikalischer Vorgänge benötigte Uhren perfekt synchronisiert werden können, lässt sich nun der Geltungsbereich der klassischen Mechanik gegenüber der Relativitätstheorie bestimmen. Die Annahme über die Synchronisierbarkeit gilt nämlich genau dann, wenn die zu messende Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ im Vergleich zur (maximalen) Signalgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$, mit der die Uhren synchronisiert werden, klein ist, d. h. ${\displaystyle v\ll c}$.

Das Verhältnis zur Quantenmechanik

Im Gegensatz zu der Quantenmechanik lassen sich Massenpunkte mit identischen Observablen (Masse, Ort, Impuls) unterscheiden, während man in der Quantenmechanik von ununterscheidbaren Entitäten ausgeht. Das bedingt, dass klassische Körper in dem Sinne makroskopisch sein müssen, dass sie individuelle Eigenschaften besitzen, die sie unterscheidbar machen. Somit lassen sich z. B. Elementarteilchen einer Familie nicht als klassische Massenpunkte auffassen. Die Unterscheidbarkeit eines klassischen Teilchens rührt daher, dass es, wenn es sich selbst überlassen wird, in seinem vorherigen Inertialsystem verharrt. Dies ist für ein quantenmechanisch beschriebenes Teilchen nicht der Fall, da ein sich selbst überlassenes Teilchen nicht zwangsweise in seinem Inertialsystem verharrt. Diese Tatsache kann man in der Quantenmechanik herleiten, in dem man das Schrödinger-Anfangswertproblem für die Wellenfunktion eines Teilchens löst, dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ genau an einem Ort lokalisiert ist (ein so genannter ${\displaystyle \delta }$-Peak). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beginnt mit zunehmender Zeit zu zerlaufen.