Gewöhnliche Differentialgleichungen

Hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Variablen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Es kommen lediglich gewöhnliche Ableitungen nach der einen Veränderlichen vor.

Beispiele:

${\displaystyle y'(x)=-2\cdot y(x)+5,\qquad {\ddot {z}}(t)+4\cdot z(t)=\sin(3\cdot t)}$

Schreibt sich die gewöhnliche Differentialgleichung für die gesuchte Funktion ${\displaystyle y(x)}$ in der Form

${\displaystyle F\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(n)}(x)\right)=0,}$

so heißt die gewöhnliche Differentialgleichung implizit.

Ist die Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst, d. h., es gilt

${\displaystyle y^{(n)}(x)=f\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(n-1)}(x)\right),}$

so nennt man die gewöhnliche Differentialgleichung explizit. Nicht jede Differentialgleichung, die in impliziter Form vorliegt, kann auf eine explizite Form gebracht werden. In den Anwendungen sind explizite gewöhnliche Differentialgleichungen mathematisch einfacher zu verarbeiten. Die höchste vorkommende Ableitungsordnung ${\displaystyle n}$ wird Ordnung der Differentialgleichung genannt. Beispielsweise hat eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung die Gestalt

${\displaystyle y'(x)=f(x,y(x))\,.}$

Es gibt eine abgeschlossene Lösungstheorie expliziter gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist linear, falls sie linear in der Funktion und ihren Ableitungen ist:

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}(x)\,y(x)=b(x)}$

Sie ist semilinear, falls sie zwar in den Ableitungen und der Funktion auf der linken Seite linear ist, die Funktion ${\displaystyle b(x)}$ aber auch von der Funktion ${\displaystyle y}$ und ihren Ableitungen abhängen kann, außer der höchsten Ableitung:

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}(x)\,y(x)=b(x,y(x),y'(x),\cdots ,y^{(n-1)}(x))}$

Partielle Differentialgleichung

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehr als einer Variable auf, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen sind ein großes Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen, sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten.

Ein Beispiel ist die sog. Wärmeleitungsgleichung für eine Funktion ${\displaystyle u(t,x)}$

${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}u(t,x)=a{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(t,x)}$

Man unterscheidet verschiedene Typen partieller Differentialgleichungen. Zunächst gibt es lineare partielle Differentialgleichungen. Dabei gehen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen linear in die Gleichung ein. Die Abhängigkeit bezüglich der unabhängigen Variablen kann dabei durchaus nichtlinear sein. Die Theorie linearer partieller Differentialgleichungen ist am weitesten fortgeschritten, jedoch weit davon entfernt, abgeschlossen zu sein.

Man spricht von einer quasilinearen Gleichung, falls alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auftreten, dies aber nicht mehr für die Funktion und Ableitungen niedrigerer Ordnung gilt. Eine quasilineare Gleichung ist schon schwieriger zu behandeln. Eine quasilineare partielle Differentialgleichung ist semilinear, falls die Koeffizientenfunktion vor den höchsten Ableitungen nicht von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten Funktion abhängt. Gerade im Gebiet der quasi- und semilinearen Gleichungen werden zurzeit die meisten Resultate erzielt.

Kann man schließlich auch keine lineare Abhängigkeit bezüglich der höchsten Ableitungen feststellen, nennt man die Gleichung eine nichtlineare partielle Differentialgleichung oder eine vollständig-nichtlineare partielle Differentialgleichung.

Besonders interessant in dem Gebiet partieller Differentialgleichungen sind die Gleichungen zweiter Ordnung. In diesen Spezialfällen gibt es noch weitere Klassifikationsmöglichkeiten.

Weitere Typen

Beim Typus der stochastischen Differentialgleichungen treten in der Gleichung stochastische Prozesse auf. Eigentlich sind stochastische Differentialgleichungen keine Differentialgleichungen im obigen Sinne, sondern lediglich gewisse Differentialrelationen, welche als Differentialgleichung interpretiert werden können.

Der Typus der Algebro-Differentialgleichungen zeichnet sich dadurch aus, dass zusätzlich zur Differentialgleichung auch noch algebraische Relationen als Nebenbedingungen gegeben sind.

Weiter gibt es noch sogenannte retardierte Differentialgleichungen. Hier treten neben einer Funktion und ihren Ableitungen zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ auch noch Funktionswerte bzw. Ableitungen aus der Vergangenheit auf.

Unter einer Integro-Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, in der nicht nur die Funktion und deren Ableitungen, sondern auch noch Integrationen der Funktion auftauchen. Ein wichtiges Beispiel dazu ist die Schrödingergleichung in der Impulsdarstellung (Fredholm'sche Integralgleichung).

Je nach Anwendungsgebiet und Methodik gibt es noch weitere Typen von Differentialgleichungen.

Systeme von Differentialgleichungen

Man spricht von einem System von Differentialgleichungen, wenn ${\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{k})}$ eine vektorwertige Abbildung ist und mehrere Gleichungen

${\displaystyle F_{l}\left(x,y,Dy,\ldots ,D^{n}y\right)=0,\qquad l=1,\ldots ,k.}$

gleichzeitig zu erfüllen sind. Lässt sich dieses implizite Differentialgleichungssystem nicht überall lokal in ein explizites System umwandeln, so handelt es sich um eine Algebro-Differentialgleichung.

Lie-Theorie

Ein strukturierter allgemeiner Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen wird über die Symmetrie und die kontinuierliche Gruppentheorie verfolgt. 1870 stellte Sophus Lie in seiner Arbeit die Theorie der Differentialgleichungen mit der Lie-Theorie auf eine allgemeingültige Grundlage. Er zeigte, dass die älteren mathematischen Theorien zur Lösung von Differentialgleichungen durch die Einführung von sogenannten Lie-Gruppen zusammengefasst werden können. Ein allgemeiner Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen nutzt die Symmetrie-Eigenschaft der Differentialgleichungen aus. Dabei werden kontinuierliche infinitesimale Transformationen angewendet, die Lösungen auf (andere) Lösungen der Differentialgleichung abbilden. Kontinuierliche Gruppentheorie, Lie-Algebren und Differentialgeometrie werden verwendet, um die tiefere Struktur der linearen und nichtlinearen (partiellen) Differentialgleichungen zu erfassen und die Zusammenhänge abzubilden, die schließlich zu den exakten analytischen Lösungen einer Differentialgleichung führen. Symmetriemethoden werden benutzt, um Differentialgleichungen exakt zu lösen.

Existenz und Eindeutigkeit

Die Fragen der Existenz, Eindeutigkeit, Darstellung und numerischen Berechnung von Lösungen sind somit je nach Gleichung vollständig bis gar nicht gelöst. Aufgrund der Bedeutung von Differentialgleichungen in der Praxis ist hierbei die Anwendung der numerischen Lösungsverfahren besonders bei partiellen Differentialgleichungen weiter fortgeschritten als deren theoretische Untermauerung.

Eines der Millennium-Probleme ist der Existenzbeweis einer regulären Lösung für die Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen treten beispielsweise in der Strömungsmechanik auf.

Approximative Methoden

Differentialgleichungen haben als Lösung Funktionen, die Bedingungen an ihre Ableitungen erfüllen. Eine Approximation geschieht meist, indem Raum und Zeit durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt werden (Diskretisierung). Die Ableitungen werden dann nicht mehr durch einen Grenzwert dargestellt, sondern durch Differenzen approximiert. In der numerischen Mathematik wird der dadurch entstandene Fehler analysiert und möglichst gut abgeschätzt.

Ein frühes Verfahren, das Euler 1768 in seinem Buch Institutiones Calculi Integralis vorstellte, ist das Eulerverfahren.

Je nach Art der Gleichung werden unterschiedliche Diskretisierungsansätze gewählt, bei partiellen Differentialgleichungen etwa Finite-Differenzen-Verfahren, Finite-Volumen-Verfahren oder Finite-Elemente-Verfahren.

Die diskretisierte Differentialgleichung enthält keine Ableitungen mehr, sondern nur noch rein algebraische Ausdrücke. Damit ergibt sich entweder eine direkte Lösungsvorschrift oder ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem, welches dann mittels numerischer Verfahren gelöst werden kann.