Erster Ordnung

Sei ${\displaystyle U}$ eine offene Teilmenge des euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }$ eine Funktion. Sei weiterhin ein Element ${\displaystyle a=(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ in ${\displaystyle U}$ gegeben. Falls für die natürliche Zahl ${\displaystyle i}$ mit ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ der Grenzwert

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dotsc ,a_{i}+h,\dotsc ,a_{n})-f(a_{1},\dotsc ,a_{i},\dotsc ,a_{n})}{h}}}$

existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach der ${\displaystyle i}$-ten Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ im Punkt ${\displaystyle a}$. Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt dann im Punkt ${\displaystyle a}$ partiell differenzierbar. Das Symbol ∂ (es ähnelt dem kursiven Schnitt der kyrillischen Minuskel д) wird als ${\displaystyle d}$ oder zur Unterscheidung auch del ausgesprochen. Die Schreibweise ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ wurde durch Verwendung von C. G. J. Jacobi bekannt.

Dem gegenüber existiert in der Technischen Mechanik eine andere Schreibweise, bei der die Richtung der Funktion mit einem Komma im Index angezeigt wird, um von der Richtung des Arguments der Funktion zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung ${\displaystyle u_{1}}$ (also die Verschiebung in ${\displaystyle x_{1}}$-Richtung) folgendermaßen gleich ${\displaystyle {\tfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}=u_{1,1}}$. Analog dazu wäre ${\displaystyle {\tfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=u_{2,3}}$ die Ableitung in ${\displaystyle x_{3}}$-Richtung einer Verschiebung in ${\displaystyle x_{2}}$-Richtung.

Höhere Ordnung

Die partielle Ableitung nach ${\displaystyle x_{i}}$ ist selbst wieder eine Funktion von ${\displaystyle U}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$, falls ${\displaystyle f}$ in ganz ${\displaystyle U}$ nach ${\displaystyle x_{i}}$ partiell differenzierbar ist. Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ ist auch oft ${\displaystyle \textstyle \partial _{x_{i}}f}$, ${\displaystyle \textstyle f_{x_{i}}}$ oder ${\displaystyle D_{i}f}$ zu finden.

Ist die Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon a\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)}$

wieder Funktionen von ${\displaystyle U}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die ihrerseits auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}$   und   ${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}$.

Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit

• Total differenzierbare Funktionen sind stetig.
• Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar.
• Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar.
• Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar.

Satz von Schwarz

• Es gilt der Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen:

  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,.}$

Beispiel 1

Als Beispiel wird die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x,y):=x^{2}+y^{2}-2}$ betrachtet, die von den beiden Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ abhängt.

Betrachtet man ${\displaystyle y}$ als eine Konstante, z. B. ${\displaystyle y=3}$, so hängt die Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle g(x)=f(x,3)}$ nur noch von der Variablen ${\displaystyle x}$ ab:

${\displaystyle f(x,3)=x^{2}+7}$

Für die neue Funktion gilt folglich ${\displaystyle g(x)=x^{2}+7}$ und man kann den Differenzialquotienten bilden

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)=2x}$

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle x}$ bildet:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}+y^{2}-2-x^{2}-y^{2}+2}{h}}=2x}$

Die partielle Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle y}$ lautet entsprechend:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+(y+h)^{2}-2-x^{2}-y^{2}+2}{h}}=2y}$

Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt:

Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.

Beispiel 2

Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle Ableitungsregeln wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}\sin(xy)}$,

so folgt mit Produkt- und Kettenregel:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=2x\sin(xy)+x^{2}y\cos(xy)}$   und

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=x^{3}\cos(xy)}$.

Beispiel 3

In der obigen Animation sieht man den Graphen der Funktion ${\displaystyle f(x,y)=\cos(x)+\sin(y)}$. Legt man einen Punkt ${\displaystyle (x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}}$ aus dem Definitionsbereich fest, so kann man den Graphen der Funktion mit einer senkrechten Ebene in x-Richtung schneiden. Der Schnitt des Graphen mit der Ebene erzeugt einen klassischen Graphen aus der eindimensionalen Analysis. Partielle Ableitungen können so auch anschaulich auf die klassische eindimensionale Analysis zurückgeführt werden.

${\displaystyle f(x,y)=\cos(x)+\sin(y)}$,

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=-\sin(x)}$   und

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=\cos(y)}$.

Partielle und totale Ableitung nach der Zeit

In der Physik (vor allem in der theoretischen Mechanik) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ von den Ortskoordinaten ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ und von der Zeit ${\displaystyle t}$ ab. Man kann also die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial z}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial t}}}$ bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ und ${\displaystyle z(t)}$ gegeben. Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion

${\displaystyle t\mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)}$

beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit ${\displaystyle t}$, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die totale oder vollständige Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach der Zeit ${\displaystyle t}$ und schreibt dafür auch kurz ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}$. Sie berechnet sich nach der mehrdimensionalen Kettenregel wie folgt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(x(t),y(t),z(t),t)={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

Während bei der partiellen Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial t}}}$ nach der Zeit nur die explizite Abhängigkeit der Funktion ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle t}$ berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}$ auch die indirekte (oder implizite) Abhängigkeit von ${\displaystyle t}$, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen.

(Indem man also die implizite Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von „substantieller“ Zeitableitung, bzw. im Jargon der Strömungsmechanik von der Euler-Ableitung im Gegensatz zur Lagrange-Ableitung.)

→ Für eine ausführlichere Darstellung siehe totales Differential