∂

∂
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Das ∂ (sprich: Del) ist ein mathematisches Symbol, das hauptsächlich für die partielle Ableitung ${\tfrac {\partial }{\partial x}}$ und das partielle Differential $\partial f$ benutzt wird. Es hat die Unicodenummer U+2202.

Namen

Der geläufigste Name des ∂ ist Del, was allerdings im Englischen auch den Nabla-Operator bezeichnet. Daher gibt es weitere Namen für das Symbol, u. a. partielles d, im Englischen Dabba oder Jacobidelta, sowie einfach d. Dann ist es allerdings sprachlich nicht mehr von der totalen Ableitung zu unterscheiden.

Verwendungsgeschichte

So wie das Integralzeichen eine spezielle Form des langen s darstellt, ist das ∂ eine spezielle kursive Schreibweise des ds. Zuerst verwendet wurde es 1770 vom französischen Mathematiker Nicolas de Concordet als Symbol für das partielle Differential.

„Dans toute la suite de ce Memoire, dz & ∂z désigneront ou deux differences partielles de z, dont une par rapport a x, l'autre par rapport a y, ou bien dz sera une différentielle totale, & ∂z une difference partielle.“

„Im weiteren Verlauf dieser Abhandlung bezeichnen dz & ∂z entweder zwei partielle Differentiale von z, davon einer in Bezug auf x, der andere in Bezug auf y, oder dz ist ein Gesamtdifferential & ∂z ein partielles Differential.“

– Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet: Memoire sur les Equations aux différence partielles, 1773

Adrien-Marie Legendre verwendete es 1786 erstmals für die partielle Ableitung.

„Pour éviter toute ambiguité, je représenterai par ∂u/∂x le coefficient de x dans la différence de u, & par du/dx la différence complète de u divisée par dx.“

„Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werde ich durch ∂u/∂x den Koeffizienten von x im Differential von u & durch du/dx das totale Differential von u geteilt durch dx darstellen.“

– Adrien-Marie Legendre: Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations, 1786

Legendre stellte die Verwendung später ein. Carl Gustav Jacob Jacobi nahm sie 1841 wieder auf und verbreitete das ∂ weitreichend.

„Sed quia uncorum accumulatio et legenti et scribenti molestior fieri solet, praetuli characteristica d differentialia vulgaria, differentialia autem partialia characteristica ∂ denotare.“

„Da jedoch die Anhäufung von Haken für das Lesen und Schreiben noch mühsamer ist, bevorzuge ich die üblichen d charakteristisch für gewöhnliche Differentiale, für partielle Differentiale ist charakteristisch ∂ angegeben.“

– Carl Gustav Jacob Jacobi: De determinantibus Functionalibus, 1841

Anwendungen

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ ist die partielle Ableitung von $f$ nach $x$ . Man braucht sie, wenn eine multivariable Funktion nach einer Variablen differenziert werden soll, um anzugeben, nach welcher.

${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}{\partial (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$
nennt man die m×n-Jacobimatrix von $f$ nach $x$ (Matrix der partiellen Ableitungen der von n Variablen abhängigen m-dimensionalen Funktion $f$ ).

Neben partieller Ableitung, partiellem Differential und Jacobimatrix wird das ∂ auch in der Topologie als Rand einer Menge, in der homologischen Algebra als Grenzoperator in einem Kettenkomplex oder einer DG-Algebra und in der Dolbeault-Kohomologie als das komplex Konjugierte des Dolbeault-Operators über einer komplexen Differentialform verwendet. In der Linguistik benutzt man das ∂ für Präsuppositionen eines Satzes.

Kodierung

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
Zeichen	Position	Bezeichnung	Bezeichnung	hexadezimal	dezimal	benannt	LaTeX
∂	`U+2202`	partial differential	Partielles Differential	∂	∂	∂	`\partial`
𝛛	`U+1D6DB`	mathematical bold partial differential	Mathematische fette partielle Ableitung	𝛛	𝛛		`\mbfpartial`
𝜕	`U+1D715`	mathematical italic partial differential	Mathematische kursive partielle Ableitung	𝜕	𝜕		`\mitpartial`
𝝏	`U+1D74F`	mathematical bold italic partial differential	Mathematische fettkursive partielle Ableitung	𝝏	𝝏		`\mbfitpartial`
𝞉	`U+1D789`	mathematical sans-serif bold partial differential	Mathematische serifenlose fette partielle Ableitung	𝞉	𝞉		`\mbfsanspartial`
𝟃	`U+1D7C3`	mathematical sans-serif bold italic partial differential	Mathematische serifenlose fettkursive partielle Ableitung	𝟃	𝟃		`\mbfitsanspartial`

Weblink

Wiktionary: del – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Quellen

↑ Unicode-Zeichen „∂“ (U+2202), Daten zum Symbol
↑ Introduction to partial derivatives, Khan Academy
↑ Prof. Stefan Kooths, Nicole Wägner: Formel-Übersicht, Abschnitt Operatoren und Funktionen. Business and Information Technology School, 2014.
↑ Malcolm Pemberton, Nicholas Rau: Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. University of Toronto Press, 3. Ausgabe 2011. ISBN 1442612762. Zitat S, 270/271: „pronounced 'partial-dee-eff-by-dee-ex'“.
↑ M. Y. Gokhale, N. S. Mujumdar, S. S. Kulkarni, A. N. Singh, K. R. Atal: Engineering Mathematics-i. Nirali Prakashan, 1981, Abschnitt 10.5. ISBN 8190693549. Zitat S. 10.2: „we read it as dabba z by dabba x (or del z by del x)“.
1 2 3 4 John Aldrich: Earliest Uses of Symbols of Calculus, Abschnitt partial derivative. Website Jeff Millers, Quelle für gesamte Verwendungsgeschichte.
↑ Richard A. Silverman: Essential Calculus with Applications. Courier Corporation, 1977; zweite Ausgabe 1989, S. 216. Dover Publications Inc, New York. ISBN 0486660974
↑ Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet: Memoire sur les Equations aux différence partielles. In: Histoire de L'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXIII (1773). S. 151–178, Zitat S. 152.
↑ Adrien-Marie Legendre: Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations. In: Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), Paris, M. DCCXXXVIII (1788). S. 7–37, Zitat Fußnote S. 8.
↑ Carl Gustav Jacob Jacobi: De determinantibus Functionalibus. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 22, 1841, S. 319–352, S. 393–438 im 1. Band der gesammelten Werke.
↑ Ljudmila Geist, Björn Rothstein: Kopulaverben und Kopulasätze: Intersprachliche und intrasprachliche Aspekte. Linguistische Arbeiten, Band 512. Hrsg. Walter de Gruyter, 2012, Erstausgabe 2007. Max Niemeyer Verlag, Tübingen. ISBN 3110938839. S. 154, Zitat: »„∂“ dient als Marker für Präsuppositionen«.
↑ Will Robertson: Symbols defined by unicode-math, 31. Januar 2020

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[1] Unicode-Zeichen „∂“ (U+2202), Daten zum Symbol

[2] Introduction to partial derivatives, Khan Academy

[3] Prof. Stefan Kooths, Nicole Wägner: Formel-Übersicht, Abschnitt Operatoren und Funktionen. Business and Information Technology School, 2014.

[4] Malcolm Pemberton, Nicholas Rau: Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. University of Toronto Press, 3. Ausgabe 2011. ISBN 1442612762. Zitat S, 270/271: „pronounced 'partial-dee-eff-by-dee-ex'“.

[5] M. Y. Gokhale, N. S. Mujumdar, S. S. Kulkarni, A. N. Singh, K. R. Atal: Engineering Mathematics-i. Nirali Prakashan, 1981, Abschnitt 10.5. ISBN 8190693549. Zitat S. 10.2: „we read it as dabba z by dabba x (or del z by del x)“.

[Aldrich-6] 1 2 3 4 John Aldrich: Earliest Uses of Symbols of Calculus, Abschnitt partial derivative. Website Jeff Millers, Quelle für gesamte Verwendungsgeschichte.

[7] Richard A. Silverman: Essential Calculus with Applications. Courier Corporation, 1977; zweite Ausgabe 1989, S. 216. Dover Publications Inc, New York. ISBN 0486660974

[8] Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet: Memoire sur les Equations aux différence partielles. In: Histoire de L'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXIII (1773). S. 151–178, Zitat S. 152.

[9] Adrien-Marie Legendre: Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations. In: Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), Paris, M. DCCXXXVIII (1788). S. 7–37, Zitat Fußnote S. 8.

[10] Carl Gustav Jacob Jacobi: De determinantibus Functionalibus. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 22, 1841, S. 319–352, S. 393–438 im 1. Band der gesammelten Werke.

[11] Ljudmila Geist, Björn Rothstein: Kopulaverben und Kopulasätze: Intersprachliche und intrasprachliche Aspekte. Linguistische Arbeiten, Band 512. Hrsg. Walter de Gruyter, 2012, Erstausgabe 2007. Max Niemeyer Verlag, Tübingen. ISBN 3110938839. S. 154, Zitat: »„∂“ dient als Marker für Präsuppositionen«.

[12] Will Robertson: Symbols defined by unicode-math, 31. Januar 2020