Die Produktregel oder Leibnizregel (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Produktregel

${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$.

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal. In etwa kann über die Produktregel die Ableitung des Terms ${\displaystyle x^{2}\cdot \sin(x)}$ schnell berechnet werden, wenn die Ableitungen der Terme ${\displaystyle x^{2}}$ und ${\displaystyle \sin(x)}$ schon bekannt sind (sie ergeben sich als ${\displaystyle 2x}$ bzw. ${\displaystyle \cos(x)}$ mittels der Ableitungsregeln elementarer Funktionen). Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Neben ihrer Bedeutung für explizite Berechnungen hat die Produktregel auch theoretische Konsequenzen. Der hinter ihr stehende mathematische Satz besagt, dass Differenzierbarkeit (also die Eigenschaft von Funktionen, eine Ableitung zu besitzen) stabil unter Produktbildung ist. Sind also Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ (in einem Punkt) ableitbar, so auch wieder ihr Produkt ${\displaystyle f\cdot g}$. Das Analogon zur Produktregel hinsichtlich Addition ist die Summenregel.

Im Rahmen der Integralrechnung kann die Produktregel dazu verwendet werden, die partielle Integration herzuleiten. Genau wie man die Integration als eine „Umkehrung“ der Differentiation gesehen werden kann, entspricht die partielle Integration der „Umkehrung“ der Produktregel.

Einführende Erklärung

Ist eine Funktion ${\displaystyle f}$ in einem Punkt differenzierbar, so ist es möglich, sie in diesem Bereich relativ gut durch eine lineare Funktion ${\displaystyle L(x)=ax+b}$ anzunähern. Der Vorteil daran ist, dass man Begriffe wie „Steigung“, also das Maß, um wie viel Einheiten sich ein Vorgang ändert, wenn man den Eingabewert verändert, für lineare Funktionen verstanden hat. Indes ist es zu Beginn nicht klar, wie zum Beispiel die Steigung einer Funktion wie ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ im Punkt ${\displaystyle x=1}$ zu begreifen ist. Durch die Annäherung mittels einer linearen Funktion, quasi als gedanklichen „Um-“ bzw. „Zwischenweg“, kann man aber den Begriff der Steigung auch auf Kurven, also nicht-lineare Vorgänge, ausweiten. Die Steigung am Punkt einer Kurve entspricht dann per Definition der Steigung der linearen Funktion, welche die Kurve dort am besten annähert, aber die Steigung einer linearen Funktion ist wegen der Gradlinigkeit des Schaubildes gut verstanden. Auf diese Weise können auch komplizierten, nicht-linearen Vorgängen lokale Veränderungsraten zugeordnet werden. Dieser Vorgang entspricht dem Kerngedanken der Differentialrechnung.

Der Gedanke hinter der Produktregel fußt nun wiederum auf einem einfachen Mechanismus. Sind zum Beispiel die Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ separat im Punkt ${\displaystyle x=0}$ im Sinne der Differentialrechnung gut verstanden, können sie durch lineare Funktionen

${\displaystyle f(x)\approx Ax+a\qquad }$ und ${\displaystyle \qquad g(x)\approx Bx+b\qquad }$ (für sehr kleine Werte ${\displaystyle x}$)

angenähert werden. Dabei haben die Näherungen, wie man aus der Erfahrung mit linearen Funktionen weiß, die Steigungen ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$. Das Prinzip der Differentialrechnung ordnet also den „schwierigen Kurven“ von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ im Punkt ${\displaystyle x=0}$ ebenfalls die Steigungen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zu. In kurzer Schreibweise:

${\displaystyle f'(0)=A}$ bzw. ${\displaystyle g'(0)=B}$.

Die Näherungen ${\displaystyle Ax+a}$ und ${\displaystyle Bx+b}$ sind so gewählt, dass sie im Punkt ${\displaystyle x=0}$ selbst perfekt sind (Tangentenprinzip), es herrscht dann im Grenzfall sogar Gleichheit: ${\displaystyle f(0)=A\cdot 0+a=a}$ bzw. ${\displaystyle g(0)=B\cdot 0+b=b}$, also kurz

${\displaystyle f(0)=a}$ bzw. ${\displaystyle g(0)=b}$.

Es ist nun naheliegend, dass sich ihr Produkt ${\displaystyle f(x)g(x)}$ über das Produkt dieser Näherungen wieder annähert. Zum Beispiel sind, zunächst einzeln betrachtet, die Zahlen ${\displaystyle 2{,}1}$ und ${\displaystyle 5{,}1}$ gute Näherungen für die Zahlen ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 5}$, ergo ist deren Produkt ${\displaystyle 2{,}1\cdot 5{,}1=10{,}71}$ eine Näherung für ${\displaystyle 2\cdot 5=10,}$ kurz

${\displaystyle 2\cdot 5\approx 2{,}1\cdot 5{,}1.}$

Nehmen nun ${\displaystyle f(x)}$ und ${\displaystyle g(x)}$ gedanklich den Platz von ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 5}$, sowie ${\displaystyle Ax+a}$ und ${\displaystyle Bx+b}$ von ${\displaystyle 2{,}1}$ und ${\displaystyle 5{,}1}$ in der oberen Anschauung ein, gilt diesem Gedanken folgend

${\displaystyle f(x)\approx Ax+b\quad }$ und ${\displaystyle \quad g(x)\approx Bx+b\implies f(x)g(x)\approx (Ax+a)(Bx+b).}$

Durch Ausmultiplizieren von ${\displaystyle (Ax+a)(Bx+b)}$ und anschließendes termweises Zusammenfassen erhält man daraus

${\displaystyle f(x)g(x)\approx ABx^{2}+Abx+Bax+ab=ABx^{2}+(Ab+Ba)x+ab.}$

Der Term ${\displaystyle ABx^{2}}$ ist für sehr kleine Werte verschwindend geringer als jede von Null verschiedene lineare Annäherung noch messen könnte (das Produkt ${\displaystyle x^{2}}$ zweier kleiner Zahlen ${\displaystyle x}$ ist „umso kleiner“), daher kann er bei der linearen Näherung des Produktes ignoriert werden:

${\displaystyle f(x)g(x)\approx (Ab+Ba)x+ab.}$

Auf der rechten Seite steht nun wieder eine lineare Näherung. Die Steigung von ${\displaystyle fg}$ im Punkt ${\displaystyle x=0}$ ist also ${\displaystyle Ab+Ba=f'(0)g(0)+g'(0)f(0)}$.

Exakt dieselbe Überlegung gilt für beliebige feste Punkte ${\displaystyle x=x_{0}}$, wenn man oben ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle x-x_{0}}$ in den Näherungstermen ersetzt. Die „kreuzweise“ Gestalt der Produktregel ist also schlicht das Resultat des mittleren Termes von ${\displaystyle (Ax+b)(Bx+b)=(f'(0)x+f(0))(g'(0)x+g(0))}$ in ausmultiplizierter Form. In diesem Sinne muss sie nicht auswendig gelernt werden, sondern kann diesen Gedanken durch elementare Rechnungen aus oberer Heuristik jederzeit hergeleitet werden.

Aussage der Produktregel

Sind die Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ von einem Intervall ${\displaystyle D}$ in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle ${\displaystyle a\in D}$ differenzierbar, so ist auch die durch

${\displaystyle f(x)=u(x)\cdot v(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$

definierte Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x=a}$ differenzierbar, und es gilt

${\displaystyle f'(a)=u'(a)\cdot v(a)+u(a)\cdot v'(a)}$

oder kurz:

${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}$

Letztere Schreibweise ist besonders dann in Gebrauch, wenn ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$, also damit auch ${\displaystyle f}$, im gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind.

Geschichte

Als Entdecker der Produktregel wird in der Literatur häufig Gottfried Wilhelm Leibniz genannt, der sie in seiner bahnbrechenden Nova Methodus pro Maximis et Minimis (1684), dem ersten Werk über das Kalkül der Infinitesimalrechnung, zusammen mit Summen- und Quotientenregel publizierte. Allerdings hatte Leibniz bereits im November 1675 in einem Manuskript mit dem Titel Pro methodo tangentium inversa et aliis tetragonisticis specimina et inventa die Regel

${\displaystyle {\overline {\mathrm {d} x}}y={\overline {\mathrm {d} xy}}-x{\overline {\mathrm {d} y}}}$

formuliert, und diese „einen äußerst bemerkenswerten und für alle Kurven geltenden Satz“ bezeichnet. Hierbei nutzte er seine eigens eingeführte Notation für infinitesimale Größen. In einer weiteren Arbeit vom 11. Juli 1677 lieferte Leibniz schließlich erste Beweise für sowohl Produkt- als auch Quotientenregel. Um ${\displaystyle \mathrm {d} (xy)=x\mathrm {d} y+y\mathrm {d} x}$ zu zeigen, schreibt Leibniz

${\displaystyle \mathrm {d} (xy)=(x+\mathrm {d} x)(y+\mathrm {d} y)-xy=x\mathrm {d} y+y\mathrm {d} x+\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

und argumentiert, dass die Größe ${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ „unendlich viel kleiner“ sei verglichen zum Rest, womit nur noch ${\displaystyle x\mathrm {d} y+y\mathrm {d} x}$ überbleibt. Auch war Leibniz im Jahr 1710 im Stande, eine allgemeine Form der Produktregel zu formulieren. Diese bezieht sich auf höhere Ableitungen eines Produktes, also zweite, dritte, vierte usw. Ableitung. Leibniz schrieb:

${\displaystyle p^{e}(x+y)=1\,p^{e}x\,p^{0}y+{\frac {e}{1}}\,p^{e-1}x\,p^{1}y+{\frac {e\cdot e-1}{1\cdot 2}}\,p^{e-2}x\,p^{2}y+{\frac {e\cdot e-1\cdot e-2}{1\cdot 2\cdot 3}}\,p^{e-3}x\,p^{3}y+{\frac {e\cdot e-1\cdot e-2\cdot e-3}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}\,p^{e-4}x\,p^{4}y\,+}$ etc.,

${\displaystyle d^{e}(x+y)=1\,d^{e}x\,d^{0}y+{\frac {e}{1}}\,d^{e-1}x\,d^{1}y+{\frac {e\cdot e-1}{1\cdot 2}}\,d^{e-2}x\,d^{2}y+{\frac {e\cdot e-1\cdot e-2}{1\cdot 2\cdot 3}}\,d^{e-3}x\,d^{3}y+{\frac {e\cdot e-1\cdot e-2\cdot e-3}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}\,d^{e-4}x\,d^{4}y\,+}$ etc.,

wobei er die Notationen ${\displaystyle p^{k}}$ für die ${\displaystyle k}$-te Potenz und ${\displaystyle d^{k}}$ für das ${\displaystyle k}$-te Differential verwendete. Leibniz erkannte, dass die allgemeine Produktregel in direkter Verbindung zum binomischen Lehrsatz stand, und sich diese durch die Analogie zwischen dimensionsgebundener Homogenität (im Sinne gleicher Potenzen in Polynomen) und Potenzen unendlich kleiner Größen ausdrückt. In einer Leibniz-Übersetzung im Jahr 1920 behauptete J. M. Child jedoch, dass Isaac Barrow die Produktregel, wie auch andere Techniken, zuvor entwickelt habe. Dort heißt es:

Bereits im Jahr 1916 hatte Child eine englische Übersetzung von Teilen der Lectiones Geometricae von Barrow veröffentlicht, in deren Vorwort er Barrow zu dem eigentlichen und einzigen Erfinder der Differential- und Integralrechnung erhoben hatte. Damit ging Child nach Einschätzung von Thomas Sonar jedoch zu weit, denn man könne aus Barrows geometrischen Konstruktionen den Hauptsatz zwar herauslesen, allerdings hätte Child dies aus der Position des heutigen, mathematisch gebildeten Menschen getan. Barrow wäre es laut Sonar hingegen versagt geblieben, diese tiefe Einsicht aus seinen eigenen Arbeiten zu gewinnen.

Anwendungsbeispiele

Im Folgenden sei stets ${\displaystyle f(x)=u(x)v(x).}$

• Ist ${\displaystyle u(x)=x}$ und ${\displaystyle v(x)=x,}$ so erhält man aus der Kenntnis von ${\displaystyle u'(x)=1}$ und ${\displaystyle v'(x)=1}$ mit der Produktregel

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{2}=f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot x+x\cdot 1=2x.}$

• Ist ${\displaystyle u(x)=x}$ und ${\displaystyle v(x)={\frac {1}{x}},}$ so ist ${\displaystyle f(x)=u(x)v(x)=1,}$ also ist

${\displaystyle 0=f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot {\frac {1}{x}}+x\cdot v'(x),}$

und durch Umformen erhält man

${\displaystyle v'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

Verwendet man die Kurznotation ${\displaystyle (u\color {Blue}v\color {Black})'=u'\color {Blue}v\color {Black}+u\color {Blue}v\color {Black}'}$ so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x^{2}-4)\cdot \color {Blue}(x^{3}+1)\\f'(x)&=2x\cdot \color {Blue}(x^{3}+1)\color {Black}+\color {Black}(x^{2}-4)\cdot \color {Blue}3x^{2}\\\end{aligned}}}$

Ausmultipliziert ergibt sich ${\displaystyle f'(x)=5x^{4}-12x^{2}+2x}$

Erklärung und Beweis

Das Produkt ${\displaystyle u\cdot v}$ zweier reeller (an einer Stelle ${\displaystyle x}$ differenzierbarer) Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ hat an der Stelle ${\displaystyle x}$ den Wert ${\displaystyle u(x)\cdot v(x),}$ der als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten ${\displaystyle u(x)}$ und ${\displaystyle v(x)}$ gedeutet werden kann. Ändert sich nun ${\displaystyle x}$ um ${\displaystyle \Delta x,}$ so ändert sich ${\displaystyle u(x)}$ um ${\displaystyle \Delta u(x)}$ und ${\displaystyle v(x)}$ um ${\displaystyle \Delta v(x).}$ Die Änderung ${\displaystyle \Delta (u(x)\cdot v(x))}$ des Flächeninhalts ${\displaystyle u(x)\cdot v(x)}$ setzt sich dann (siehe Abbildung) zusammen aus

${\displaystyle \Delta (u(x)\cdot v(x))=u(x)\cdot \Delta v(x)+v(x)\cdot \Delta u(x)+\Delta u(x)\cdot \Delta v(x).}$

Dividiert man durch ${\displaystyle \Delta x,}$ so ergibt sich mit

${\displaystyle {\Delta (u(x)\cdot v(x)) \over \Delta x}=u(x)\cdot {\Delta v(x) \over \Delta x}+v(x)\cdot {\Delta u(x) \over \Delta x}+{\Delta u(x) \over \Delta x}\cdot \Delta v(x)}$

der Differenzenquotient der Produkt- oder Flächeninhaltsfunktion ${\displaystyle u\cdot v}$ an der Stelle ${\displaystyle x.}$

Für ${\displaystyle \Delta x}$ gegen ${\displaystyle 0}$ strebt auch ${\displaystyle \Delta v(x)}$ (und damit der ganze letzte Summand) gegen ${\displaystyle 0,}$ sodass man an der Stelle ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (u\cdot v)'=u\cdot v'+v\cdot u'}$

erhält, wie behauptet. Dies ist auch im Wesentlichen die Argumentation, wie sie sich in einem ersten Beweis der Produktregel 1677 in einem Manuskript von Leibniz findet. Die Produktregel, die er dort gemeinsam mit der Quotientenregel beweist, war damit eine der ersten Regeln zur Anwendung der Infinitesimalrechnung, die er herleitete. Er benutzte allerdings keinen Grenzwert, sondern noch Differentiale und schloss, dass ${\displaystyle \Delta u\cdot \Delta v}$ wegfällt, weil es im Vergleich zu den anderen Summanden infinitesimal klein sei. Euler benutzte noch dasselbe Argument, erst bei Cauchy findet sich ein Beweis mit Grenzwerten, der den heutigen Maßstäben an mathematische Strenge genügt:

Verallgemeinerungen

Literatur

Die Produktregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
• Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bde. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus. Springer, New York 1979.

Weblinks

• Herleitung der Produktregel und zahlreiche Beispiele (Memento vom 29. Februar 2008 im Internet Archive)

Einzelnachweise

1. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 321.
2. ↑ Gottfried Wilhelm Leibniz: Nova Methodus pro Maximis et Minimis, S. 467
3. ↑ John Stillwell: Mathematics and Its History, Springer, S. 171.
4. ↑ J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 107.
5. ↑ C. H. Edwards: The Historical Development of the Calculus, Springer, S. 255–256.
6. ↑ Gottfried Wilhelm Leibniz: Mathematische Schriften V, S. 379–380.
7. ↑ H. J. M. Bos: Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus, Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1975, S. 33.
8. ↑ J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 28–29, Fußnote 58.
9. ↑ J. M. Child: Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago, London, 1916.
10. ↑ Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, S. 330.
11. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 325.
12. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 2, Zweite Auflage, Birkhäuser, S. 175.
13. ↑ Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. ISBN 0-8218-0772-2, 19. Auflage, S. 12.
14. ↑ De Boor: Divided Differences. Surveys in Approximation Theory. Band 1, 2005, S. 46–69.