Erster Teil

Der erste Teil des Satzes ergibt die Existenz von Stammfunktionen und den Zusammenhang von Ableitung und Integral:

Ist ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ eine reellwertige stetige Funktion auf einem reellen Intervall ${\displaystyle I}$, so ist für jedes ${\displaystyle c\in I}$ die Integralfunktion

${\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t}$

differenzierbar und eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, das heißt, für alle ${\displaystyle x\in I}$ gilt ${\displaystyle F^{\prime }(x)=f(x)}$.

Dass die Integralfunktion ${\displaystyle F}$ auf dem ganzen Intervall ${\displaystyle I}$ definiert ist, folgt aus der Tatsache, dass das Riemann-Integral für jede stetige Funktion über jedem kompakten Intervall existiert.

Insbesondere ist ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar mit ${\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}$, falls ${\displaystyle f}$ stetig in ${\displaystyle x_{0}}$ ist. Dabei ist die Differenzierbarkeit einseitig zu verstehen, falls ${\displaystyle x_{0}}$ Randpunkt des Intervalls ${\displaystyle I}$ ist.

Zweiter Teil

Der zweite Teil des Satzes erklärt, wie Integrale berechnet werden können:

Ist ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ mit Stammfunktion ${\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, dann gilt die Newton-Leibniz-Formel

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a).}$

Mit der abkürzenden Schreibweise ${\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=F(b)-F(a)}$ liest sich der zweite Teil als

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}.}$

Bemerkung

Die Anforderung, dass ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle [a,b]}$ stetig ist, lässt sich abschwächen. So kann ${\displaystyle f}$ beispielsweise auch endlich viele Unstetigkeitsstellen in ${\displaystyle [a,b]}$ besitzen.

Erster Teil

Für den ersten Teil muss gezeigt werden, dass die Ableitung von ${\displaystyle F}$, also der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}$, existiert und gleich ${\displaystyle f(x)}$ ist.

Dazu sei ${\displaystyle x\in I}$ ein beliebiger, aber fester Punkt. Für alle ${\displaystyle h\neq 0}$ mit ${\displaystyle x+h\in I}$ gilt dann

${\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{c}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t-\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t\right)={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t.}$

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert eine reelle Zahl ${\displaystyle \xi _{h}}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle x+h}$, sodass

${\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t=f(\xi _{h}).}$

Wegen ${\displaystyle \xi _{h}\to x}$ für ${\displaystyle h\to 0}$ und der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ folgt daraus

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}f(\xi _{h})=f(x),}$

d. h. ${\displaystyle F'(x)}$ existiert und ist gleich ${\displaystyle f(x)}$.

Zweiter Teil

Sei ${\displaystyle f}$ eine stetige Funktion auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Setzt bei der Integralfunktion des ersten Teils ${\displaystyle c=a}$, so ist ${\displaystyle F(a)=0}$ und ${\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}$ und damit gilt ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\mathrm {d} t=F(b)-F(a)}$ für diese spezielle Stammfunktion. Alle anderen Stammfunktionen unterscheiden sich von jener aber nur durch eine Konstante, die bei der Subtraktion verschwindet. Somit ist der Satz für alle Stammfunktionen bewiesen.

Bemerkung

Der zweite Teil des Hauptsatzes lässt sich unabhängig vom ersten Teil desselben beweisen, indem man auf die Definition des Riemann-Integrals als Grenzwert von Ober- und Untersummen zurückgreift.

Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen

Die hauptsächliche Bedeutung des Fundamentalsatzes liegt darin, dass er die Berechnung von Integralen auf die Bestimmung einer Stammfunktion, sofern eine solche überhaupt existiert, zurückführt.

Herleitung von Integrationsregeln

Der Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung erlaubt es, aus Ableitungsregeln, die direkt aus der Definition der Ableitung gefolgert werden können, Integrationsregeln zu gewinnen. Zum Beispiel kann die Potenzregel benutzt werden, um Integrale von Potenzfunktionen direkt hinzuschreiben. Interessanter sind Aussagen, die für allgemeinere Klassen von Funktionen gelten. Dabei ergibt sich dann als Übertragung der Produktregel die partielle Integration, die deswegen auch Produktintegration genannt wird, und aus der Kettenregel die Substitutionsregel. Erst dies liefert praktikable Verfahren zum Auffinden von Stammfunktionen und damit zur Berechnung von Integralen.

Auch in mit diesen Möglichkeiten und auf diese Weise erstellten Tabellenwerken von Stammfunktionen gibt es allerdings Integranden, für die keine Stammfunktion angegeben werden kann, obwohl das Integral existiert. Die Berechnung muss dann mit anderen mathematischen Werkzeugen erfolgen, beispielsweise mithilfe der Integration im Komplexen oder numerischer Integration.

Der Hauptsatz für Lebesgue-Integrale

In seiner obigen Form gilt der Satz nur für stetige Funktionen, was eine starke Einschränkung bedeutet. Tatsächlich können auch unstetige Funktionen eine Stammfunktion besitzen. Beispielsweise gilt der Satz auch für das Regel- oder Cauchyintegral, bei dem Regelfunktionen untersucht werden. Diese besitzen an jeder Stelle einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert, können also sehr viele Unstetigkeitsstellen haben. Auch diese Funktionenklasse ist noch nicht ausreichend, daher folgt hier der Hauptsatz für das sehr allgemeine Lebesgue-Integral.

Ist ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle I}$ Lebesgue-integrierbar, so ist für alle ${\displaystyle c\in I}$ die Funktion

${\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f\,{\rm {d}}\lambda }$ mit ${\displaystyle x\in I}$

absolut stetig (insbesondere ist sie fast überall differenzierbar), und es gilt ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle \lambda }$-fast überall.

Sei umgekehrt die Funktion ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ absolut stetig. Dann ist ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda }$-fast überall differenzierbar. Definiert man ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle f(x)=F'(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$, in denen ${\displaystyle F}$ differenzierbar ist, und identisch null für die anderen ${\displaystyle x\in [a,b]}$, so folgt, dass ${\displaystyle f}$ Lebesgue-integrierbar ist mit

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f\,{\rm {d}}\lambda .}$

Der Hauptsatz im Komplexen

Der Hauptsatz lässt sich auch auf Kurvenintegrale in der komplexen Zahlenebene übertragen. Seine Bedeutung liegt dabei im Gegensatz zur reellen Analysis weniger in der Aussage selbst und ihrer Bedeutung für die praktische Berechnung von Integralen, sondern darin, dass aus ihm drei wichtige Sätze der Funktionentheorie folgen, nämlich der cauchysche Integralsatz und daraus dann die cauchysche Integralformel und der Residuensatz. Es sind diese Sätze, die zur Berechnung von komplexen Integralen herangezogen werden.

Sei ${\displaystyle \gamma }$ eine komplexe Kurve mit Parameterintervall ${\displaystyle [a,b]}$ und ${\displaystyle F}$ eine komplexe Funktion auf der offenen Menge ${\displaystyle U}$, die den Abschluss von ${\displaystyle \gamma }$ enthält. Ferner sei ${\displaystyle F}$ komplex differenzierbar auf ${\displaystyle U}$ und stetig auf dem Abschluss von ${\displaystyle \gamma }$. Dann ist

${\displaystyle \int _{\gamma }F'(z)\,{\rm {d}}z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$

Insbesondere ist dieses Integral null, wenn ${\displaystyle \gamma }$ eine geschlossene Kurve ist. Der Beweis führt das Integral auf reelle Integrale von Realteil und Imaginärteil zurück und benutzt den reellen Hauptsatz.

Mehrdimensionale Verallgemeinerungen

Abstrakt gesprochen hängt der Wert eines Integrals auf einem Intervall nur von den Werten der Stammfunktion am Rand ab. Dies wird auf höhere Dimensionen durch den gaußschen Integralsatz verallgemeinert, der das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes ${\displaystyle \mathrm {F} }$ mit einem Integral über den Rand in Verbindung bringt.

Es sei ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ kompakt mit abschnittsweise glattem Rand ${\displaystyle S}$, der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld ${\displaystyle {\rm {n}}}$, ferner sei das Vektorfeld ${\displaystyle {\rm {F}}}$ stetig auf ${\displaystyle V}$ und stetig differenzierbar im Inneren von ${\displaystyle V}$. Dann gilt:

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\rm {F}}\;{\rm {d}}V=\oint _{\partial V}{\rm {F}}\cdot {\rm {d}}{\rm {S}}}$.

Noch allgemeiner betrachtet der Satz von Stokes Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten. Sei ${\displaystyle M}$ eine orientierte ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ${\displaystyle \partial M}$ mit induzierter Orientierung. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre), gegeben. Ferner sei ${\displaystyle \omega }$ eine stetig differenzierbare Differentialform vom Grad ${\displaystyle n-1}$. Dann gilt

${\displaystyle \int _{M}{\rm {d}}\omega =\int _{\partial M}\omega ,}$

wobei ${\displaystyle {\rm {d}}}$ die Cartan-Ableitung bezeichnet.