Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden

${\displaystyle g(x)=mx+c}$

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ und ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

${\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

Bei nicht linearen Funktionen wie z. B. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ berechnen kann. Wählt man eine Stelle ${\displaystyle x_{1}}$ ganz nahe bei ${\displaystyle x_{0}}$ und legt eine Gerade durch die Punkte ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ und ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}$, so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.)

${\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}$

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle ${\displaystyle x_{1}}$ immer weiter an ${\displaystyle x_{0}}$ annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in ${\displaystyle x_{0}}$. Der Ausdruck ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}}$ bedeutet, dass x immer weiter an ${\displaystyle x_{0}}$ angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und ${\displaystyle x_{0}}$ beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen ${\displaystyle x_{0}}$“. Die Bezeichnung ${\displaystyle \lim }$ steht für Limes.

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$, wenn der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right).}$

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem sogenannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.

In der sogenannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis in folgender Weise „invers“ zueinander.

Wenn ${\displaystyle f}$ eine auf einem kompakten Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetige reelle Funktion ist, so gilt für ${\displaystyle x\in (a,b)}$:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(\int _{a}^{x}f({\bar {x}})\mathrm {d} {\bar {x}}\right)=f(x)}$

und, falls ${\displaystyle f}$ zusätzlich auf ${\displaystyle (a,b)}$ gleichmäßig stetig differenzierbar ist,

${\displaystyle \int _{a}^{x}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} {\bar {x}}}f({\bar {x}})\right)\mathrm {d} {\bar {x}}=f(x)-f(a).}$

Deshalb wird die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion ${\displaystyle f}$ auch als unbestimmtes Integral bezeichnet und durch ${\displaystyle \textstyle \int f(x)\mathrm {d} x}$ symbolisiert.