Kommutativgesetz

Der Wert einer Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden. Sowohl ${\displaystyle 6+7}$ als auch ${\displaystyle 7+6}$ ergeben als Resultat ${\displaystyle 13}$. Man nennt diese Eigenschaft das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt damit formal:

${\displaystyle a+b=b+a}$

Assoziativgesetz

Bei der Addition dürfen Klammern umgesetzt oder weggelassen werden, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Man nennt diese Eigenschaft das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ gilt:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

Da es bei der Addition mehrerer Zahlen daher auf die Klammern nicht ankommt, lässt man sie oft weg und schreibt etwas kürzer

${\displaystyle a+b+c}$

Neutralität der Null

Die Zahl Null mit dem Symbol ${\displaystyle 0}$ ist das neutrale Element der Addition. Für alle Zahlen ${\displaystyle a}$ gilt:

${\displaystyle a+0=0+a=a}$

Die Null ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft.

Gegenzahl

Die Gegenzahl (bzw. das additive Inverse) zu einer Zahl ${\displaystyle a}$ ist diejenige Zahl ${\displaystyle b}$ für die ${\displaystyle a+b=0}$ gilt. Zum Beispiel ist ${\displaystyle -2}$ die Gegenzahl zu ${\displaystyle 2}$. Man schreibt ${\displaystyle -a}$ für die Gegenzahl von ${\displaystyle a}$ und es gilt dann:

${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}$

Distributivgesetze

Im Zusammenspiel der Addition mit der Multiplikation gelten die Distributivgesetze. Für alle Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ gilt:

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$

${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}$

Demnach kann durch Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt.

Kürzungsregeln

Durch Addition einer Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung oder Ungleichung ändert sich der Wahrheitsgehalt einer Gleichung nicht. Für alle Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ gilt:

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a+c=b+c}$

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;a+c<b+c}$

${\displaystyle a>b\;\Leftrightarrow \;a+c>b+c}$

Dieses Addieren ist ein Spezialfall einer Äquivalenzumformung.

Lösung von Gleichungen

Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion. Zur Subtraktion gelangt man über die Frage nach der Lösung elementarer Gleichungen der Form

${\displaystyle a+x=b}$,

wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gegebene Zahlen sind und die Zahl ${\displaystyle x}$ gesucht ist. Wegen der Kürzungsregel ist die Lösung eindeutig, sofern sie existiert. Somit kann ${\displaystyle x}$ als Definition für die Subtraktion ${\displaystyle b-a}$ dienen. Es gilt dann

${\displaystyle a+(b-a)=b}$

In den natürlichen Zahlen ist die Gleichung ${\displaystyle a+x=b}$ genau dann lösbar, wenn ${\displaystyle a\leq b}$ ist. Für ${\displaystyle a\geq b}$ ist jedoch die umgekehrte Gleichung

${\displaystyle b+x=a}$

lösbar. In den ganzen Zahlen ist erstere Gleichung immer lösbar und es gilt

${\displaystyle x=b-a=b+(-a)}$,

was durch Einsetzen und Anwendung der Rechenregeln als Lösung verifiziert werden kann.

Schriftliches Addieren von Dezimalzahlen

Hierbei schreibt man die Zahlen so untereinander, dass das Dezimalkomma genau untereinander steht. Man kann sich das Komma wegdenken und später beim Ergebnis an derselben Stelle wieder dazuschreiben. Falls die Summanden unterschiedlich viele Nachkommastellen besitzen, werden an die Nachkommastellen so viele Nullen angefügt, bis alle Summanden die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben.